Dagsarkiv: 20 augusti, 2018


Talet i och komplexa lösningar

Talet i och komplexa lösningar till en andragradsekvation

Första delen av denna genomgång behandlar området.

Talet i och komplexa tal

Något lång genomgång men kan vara bra att titta på om du inte hängde med på den ovan.

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till denna.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).


Lösa andragradsekvationer

Längre genomgång som täcker det mesta

Tittar du på denna så har du nog bra koll sen!

Digital mängdträning

Checklista

Checklistan är endast ett test än så länge.

Hur löser man andragradsekvationer?

1. Du måste först välja rätt metod.

2. Sedan kan du börja lösa ekvationen med den metoden.

Metod 1: Rotmetoden (Kvadratrotsmetoden)

Metod 2: Nollproduktmetoden (faktorisering)

Metod 3: pq-formeln (lösningsformeln)

På formelbladet finns två formler... Du behöver inte båda!

På formelbladet finns två formler för att lösa andragradsekvationer:

“pq-formeln” till vänster är den vanligaste att använda här i Sverige och också den formel som jag använder i genomgångarna på denna sida. 

abc-formeln” till höger är vanlig i andra länder och är framförallt smidig om du har en koefficient framför x-termen. “abc-formeln” behöver du inte behärska om du kan “pq-formeln”.

Genomgång om abc-formeln

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till denna.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 2b).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 2c).

Från VT 2015 (Matematik 2c).

Nedan kommer ingenting nytt, utan bara fler genomgångar och liknande typer av material

Vill du ha fler exempel?

Fem tydliga klipp med flera exempel om hur du löser andragradsekvationer, från enkla till fullständiga. Separata klipp för varje metod.

De här klippen är bra om du vill lära dig en metod i taget, ordentligt.

Del 1: Rotmetoden (kvadratrotsmetoden)

Del 2: Nollproduktmetoden (faktorisering)

Del 3: pq-formeln (lösningsformeln)

Del 4: Något svårare uppgifter med pq-formeln.

Del 5: Vilken metod ska jag välja? (VIKTIGT!)

Lär dig de tre metoderna i en och samma genomgång:

  • Rotmetoden (kvadratrotsmetoden).
  • Nollproduktmetoden (faktorisering).
  • pq-formeln (lösningsformeln)

Prova om du kan lösa dessa ekvationer själv:

3x+ 1 = 13

x– 4x = x

x– 2x – 4 = 0

Kolla sedan på videolösningarna!

Lösningarna till de tre ekvationerna:

"Fusklapp" för de tre metoderna att lösa andragradsekvationer

Genomgångar från klassrummet

Dessa genomgångar täcker samma innehåll som genomgångarna ovan.

Basics: Introduktion

Enkla andragradsekvationer av typen x^2=a

Olika metoder för lösning av andragradsekvationer

Introducerande genomgång om lösningsformeln (pq-formeln)

Hel genomgång om lösningsformeln (pq-formeln), med aningen svårare uppgifter också.


Faktorisering

Att faktorisera ett uttryck

  • Bryta ut gemensam faktor?
  • Konjugatregeln?
  • Kvadreringsreglerna?

Svårare uppgift från boken

Förenkla ett rationellt uttryck genom att först faktorisera.

Origo 2b, uppgift 1231b.


Förenkla uttryck

Multiplikation med parenteser

Fler liknande genomgångar

Uttryck med en parentes

Förenkla uttryck och bryta ut gemensam faktor (två delar)

Uttryck med två parenteser

Multiplikation av uttryck inom parenteser (utökade distributiva lagen)


Linjära funktioner (räta linjens ekvation)

Räta linjens ekvation: y=kx+m

Alla linjära funktioner skrivs med formeln

y=kx+m

där k är linjens lutning (riktningskoefficient) och m talar om var  linjen skär y-axeln.

k-värdet fås alltid genom divisionen Δy/Δx, där Δy anger antalet steg vi ska gå uppåt och Δx anger antalet steg vi ska gå åt sidan.

Ex. Funktionen y = 2x + 3 har följande k- och m-värden:

k = 2. 
Detta innebär att lutningen är 2.
Tips: Tänk alltid lutningen som ett bråktal, i det här fallet k=2/1. Täljaren anger då antalet steg som vi ska gå uppåt (Δy) och nämnaren anger antalet steg som vi ska gå åt höger (Δx). I det här fallet ska vi alltså hela tiden gå 2 steg uppåt och 1 steg åt höger.

m = 3. 

Detta innebär att linjen skär y-axeln där y=3.

Flera tusen elever har redan provat:
Digital övning (SPEL?) med 25 nivåer!

Lär dig k-värdet, m-värdet och linjära funktioner bra!

En till bra digital övning:

Läs av k-värde och m-värde​

Hitta linjens k-värde och m-värde

(Skapad av Jonas Vikström).

Förstå k-värdet riktigt bra

Lär dig förstå k-värdet (riktningskoefficienten)

Uppgift!
Efter att du har sett genomgången ovan, prova nu att ta ett rutat papper och rita upp linjer som har följande k-värden:

a) 3

b) -3

c) 0,5

d) 3/7

Kolla sedan på följande klipp och se om du hade rätt!

Digital övning:

"Se" k-värdet (extern länk)

Falköpings MatteAppar: 
Lutning/riktningskoefficient k

(Skapad av Svetlana Yushmanova och Anders Karlsson).

Beräkningar, när det inte går enkelt att läsa av grafen

Beräkna k-värdet, m-värdet och skriva ekvationen till en linje

Detta är en genomgång som är tydlig och som rekommenderas starkt.

Digital hjälp:

Beräkna k-värde och m-värde​

Viktiga exempeluppgifter

Några olika typer av exempeluppgifter om räta linjens ekvation

Relevanta uppgifter från tidigare nationella prov i Matematik 1 och Matematik 2

Innehållet finns med i båda kurserna, men tyngdpunkten på vilka uppgifter som är viktigast skiljer lite. Dessa uppgifter är relevanta för båda kurserna dock.

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till den.

Från VT 2013 (Matematik 1a, 1b,och 1c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 2b och 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från HT 2016 (Matematik 1a, 1b eller 1c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 2b och 2c).

Uppgiften nedan går att lösa både med hjälp av ekvationssystem (Matematik 2), men också med hjälp av räta linjens ekvation. Prova det senare om du läser Matematik 1.

Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

b16

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).


Taluppfattning: Sammanfattning av grunderna 1

Taluppfattning: Sammanfattning om det viktigaste!

Sammanfattningen täcker bara de viktigaste delarna av området och är tänkt som en snabbrepetition inför exempelvis ett prov!

Ett par år tidigare har jag också gjort en videosammanfattning över samma område. Lite olika upplägg, men denna finns här för dig som vill: Del 1 (av 2). Del 2 (av 2).


Algebra: Sammanfattning av grunderna

Sammanfattning om grunderna i algebra

Genomgången är gjord för enklare kurs och täcker enbart grunderna och inte allt innehåll i Matematik 1.
Fortsättning:

Repetitionsgenomgång med enkla och svåra uppgifter

Förenkla uttryck:

Övningsprov med videolösningar

Provet täcker följande:
– Förstå och tolka uttryck.
– Förenkla uttryck och beräkna uttrycks värde.
– Faktorisera uttryck.
– Lösa ekvationer.

Enklare frågor


Enhetsomvandlingar

Enhetsomvandling: längd, area, volym

Du ska multiplicera eller dividera med 10 för varje ruta du “hoppar”.

Om du ska omvandla till en mindre enhet måste du göra värdet större (eftersom du behöver “fler” av den lilla enheten). Du ska alltså multiplicera!

Om du ska omvandla till en större enhet måste du göra värdet mindre (eftersom du behöver “färre” av den stora enheten). Du ska alltså dividera!

En kortare genomgång

En mer utförlig genomgång över samma innehåll

VIKTIGT: Träna enhetsomvandling

Om du går in på hemsidan nomp.se och skapar ett användarkonto där så finns det jättemånga bra uppgifter att träna på med enhetsomvandling.

 

De uppgifter du bör leta efter finns på olika nivåer, från nivå 5A till nivå 9C. Klicka på knapparna LÄTTARE och SVÅRARE för att växla mellan nivåerna och hitta rätt uppgifter.

Följande uppgifter handlar om enhetsomvandling:

  • Nivå 5A: Enheter volym
  • Nivå 5A: Enheter längd
  • Nivå 8A: Enheter
  • Nivå 8B: Enheter
  • Nivå 8D: Enheter (2 st)
  • Nivå 9A: Enheter
  • Nivå 9B: Enheter
  • Nivå 9C: Enheter

Gör alla!


Längd | Area | Volym

Från formelbladet (som nästan alltid är tillåtet på prov)

Klicka för förstoring.

Klicka för förstoring.

Repetition av grunder: area och omkrets

Detta är repetitionsklipp från högstadiet, men kan vara bra att titta på om du tycker geometri är svårt.

Enkel genomgång:
Vad är area och omkrets?

Enkel genomgång:
Arean av en triangel

Enkel genomgång:
Talet pi och cirkelns omkrets

Enkel genomgång:
Arean av en cirkel

Area

Area: exempeluppgift från boken

Uppgift 6216a och b från Origo 1b

Volym

Hur du beräknar volymen för kub, rätblock, prisma, cylinder, pyramid, kon och klot.

Två exempel och vad som är bra att tänka på!

En till genomgång om volym

Volym: Uppgifter på C/A-nivå

Uppgift 1

C/A-nivå: Bra uppgift att prova själv! Sedan kan du kolla om du tänkt lika!

Uppgift 2

En till nästan likadan uppgift som du kan prova själv på, så att du kan testa om du verkligen behärskar detta! C/A-nivå.

Uppgift 3

A-uppgift om volym. Prova om du klarar den själv!

Uppgiften kräver att du känner till begreppet förhållande, se genomgång längre ned på denna sida.

 

Andel och förhållande

Ofta kommer du stöta på uppgifter i geometriavsnittet som kräver förståelse för begreppen andel och förhållande. Här kommer flera genomgångar om detta. Många av uppgifterna ärextra bra för dig som vill visa kunskaper för högre betyg.


Pythagoras sats

Pythagoras sats

Bevis för att satsen fungerar

Utmanande uppgift

Helen vill beställa en 60-tums TV och vill veta hur stor bredden och höjden på TV-bilden är.

Förhållandet mellan bredd och höjd på en vanlig tv (HD-format) är 16 : 9.

Vilka mått har TV-skärmen?

Klicka på bilden nedan för att se lösningsförslaget – men prova lös uppgiften själv först!


Symmetri

Symmetri: spegelsymmetri och rotationssymmetri

Kort genomgång av enbart det viktigaste

Längre liknande genomgång, men med fler exempel och tydligare förklaring

Symmetri: spegling i planet

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring

Spela videoklipp

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2016 (Matematik 1a, 1b,eller 1c).

Spela videoklipp

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 1a, 1b,eller 1c).

Från VT 2013 (Matematik 1a, 1b,och 1c).

Spela videoklipp

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 1a, 1b,eller 1c).

Spela videoklipp

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 1a, 1b,eller 1c).


Skala

Skala: förstoring och förminskning

Längdskala, areaskala, volymskala

På formelbladet:

Exempel.

Om längdskalan (vanliga skalan) är 1 : 10, så kan vi räkna ut areaskalan och volymskalan så här:

Areaskalan blir 1 : 100 (uträkning: 1·1=1 och 10·10=100). Arean i en figur förminskas alltså till en hundradel om figurens längder minskas till en tiondel. 

Volymskalan blir 1 : 1000 (Uträkning: 1·1·1=1 och 10·10·10=1000). Volymen förminskas alltså till en tusendel om alla längder minskas till en tiondel. 

Svårare exempel.

Om längdskalan (vanliga skalan) är 2 : 3, så kan vi räkna ut areaskalan och volymskalan så här:

Areaskalan blir 4 : 9 (uträkning: 2·2=4 och 3·3=9). Arean i en figur förminskas alltså till en fyra niondelar om figurens längder minskas till två tredjedelar. 

Volymskalan blir 8 : 27 (Uträkning: 2·2·2=8 och 3·3·3=27). Volymen förminskas alltså till åtta tjugosjundedelar om alla längder minskas till två tredjedelar. 

Hur fungerar skala om det gäller area eller volym?


Vinklar 2

Introduktion: Olika slags vinklar

  • Rät vinkel
  • Spetsig vinkel
  • Trubbig vinkel
  • Rak vinkel

Vinklar i trianglar och olika slags trianglar

  • Rätvinklig triangel, liksidig triangel, likbent triangel.
  • Vinkelsumma i en triangel, fyrhörning, månghörning.

Implikation | Ekvivalens

Matematisk argumentation: implikation och ekvivalens

Liknande genomgång men med andra exempel: