Dagsarkiv: 20 augusti, 2018


Talet i och komplexa lösningar

Talet i och komplexa lösningar till en andragradsekvation

Första delen av denna genomgång behandlar området. 

Talet i och komplexa tal

Något lång genomgång men kan vara bra att titta på om du inte hängde med på den ovan.

Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på uppgiften för att se videoförklaringen!


Lösa andragradsekvationer

Introduktion

Enkla andragradsekvationer av typen x^2=a

Fem tydliga klipp om hur du löser andragradsekvationer, från enkla till fullständiga. Separata klipp för varje metod.

De här klippen är bra om du vill lära dig en metod i taget, ordentligt.

Del 1: Kvadratrotsmetoden

Del 2: Faktorisering (nollproduktmetoden)

Del 3: Lösningsformeln (pq-formeln)

Del 4: Något svårare uppgifter med lösningsformeln (pq-formeln)

Del 5: Vilken metod ska jag välja? (VIKTIGT!)

På formelbladet finns två formler... Du behöver inte båda!

På formelbladet finns två formler för att lösa andragradsekvationer:

“pq-formeln” till vänster är den vanligaste att använda här i Sverige och också den formel som jag använder i genomgångarna på denna sida. 

 

abc-formeln” till höger är vanlig i andra länder och är framförallt smidig om du har en koefficient framför x-termen. “abc-formeln” behöver du inte behärska om du kan “pq-formeln”.

Lär dig de tre metoderna i en och samma genomgång:

  • Kvadratrotsmetoden.
  • Faktorisering (nollproduktmetoden).
  • Lösningsformeln (pq-formeln).

Prova om du kan lösa dessa ekvationer själv:

3x+ 1 = 13

x– 4x = x

x– 2x – 4 = 0

Kolla sedan på videolösningarna!

Lösningarna till de tre ekvationerna:

"Fusklapp" för de tre metoderna att lösa andragradsekvationer

TYDLIG SNABBGENOMGÅNG: Hur du löser andragradsekvationer med de tre olika metoderna

  • Kvadratrotsmetoden
  • Faktorisering (nollproduktmetoden)
  • Lösningsformeln (pq-formeln)

Genomgångar från klassrummet

Dessa genomgångar täcker samma innehåll som genomgångarna ovan.

Olika metoder för lösning av andragradsekvationer

Introducerande genomgång om lösningsformeln (pq-formeln)

Hel genomgång om lösningsformeln (pq-formeln), med aningen svårare uppgifter också.


Faktorisering

Att faktorisera ett uttryck

  • Bryta ut gemensam faktor?
  • Konjugatregeln?
  • Kvadreringsreglerna?

Svårare uppgift från boken

Förenkla ett rationellt uttryck genom att först faktorisera.

Origo 2b, uppgift 1231b.


Förenkla uttryck

Uttryck med en parentes

Förenkla uttryck och bryta ut gemensam faktor (två delar)

Uttryck med två parenteser

Multiplikation av uttryck inom parenteser (utökade distributiva lagen)

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna

Tre konkreta exempel

Omfattande genomgång

Uppgifter från tidigare nationellt prov

Klicka på uppgiften för att se videoförklaringen!

Klicka på uppgiften för att se videoförklaringen!


Linjära funktioner (räta linjens ekvation)

Alla linjära funktioner skrivs med formeln

y=kx+m

där k är linjens lutning (riktningskoefficient) och m talar om var  linjen skär y-axeln

k-värdet fås alltid genom divisionen Δy/Δx, där Δy anger antalet steg vi ska gå uppåt och Δx anger antalet steg vi ska gå åt sidan.

 

Ex. Funktionen y = 2x + 3 har följande k- och m-värden:

k = 2. 
Detta innebär att lutningen är 2.
Tips: Tänk alltid lutningen som ett bråktal, i det här fallet k=2/1. Täljaren anger då antalet steg som vi ska gå uppåt (Δy) och nämnaren anger antalet steg som vi ska gå åt höger (Δx). I det här fallet ska vi alltså hela tiden gå 2 steg uppåt och 1 steg åt höger.

m = 3. 

Detta innebär att linjen skär y-axeln där y=3.

 

Introduktion

Funktion, värdetabell, graf och lite y=kx+m.

En till rekommenderad introducerande genomgång:

Rita grafen till en ekvation genom att först göra en värdetabell

När du har lärt dig mer kan du ofta rita grafen direkt, utan värdetabell, men detta måste du förstå först!

Förstå k-värdet riktigt bra

Lär dig förstå k-värdet (riktningskoefficienten)

Uppgift!
Efter att du har sett genomgången ovan, prova nu att ta ett rutat papper och rita upp linjer som har följande k-värden:

a) 3

b) -3

c) 0,5

d) 3/7

Kolla sedan på följande klipp och se om du hade rätt!

 

Digital övning:

Hur ritar man en linje med en viss lutning?

Hitta linjens k-värde och m-värde

(Skapad av Jonas Vikström).

Digital övning:

"Se" k-värdet (extern länk)

Falköpings MatteAppar: 
Lutning/riktningskoefficient k

(Skapad av Svetlana Yushmanova och Anders Karlsson).

Räta linjens funktion: y=kx+m

Lång genomgång med lite pauser

Digital övning:

Läs av k-värde och m-värde​

Hitta linjens k-värde och m-värde

(Skapad av Jonas Vikström).

Några olika typer av exempeluppgifter om räta linjens ekvation

Fokus på beräkningar:
Beräkna k-värdet, m-värdet och skriva ekvationen till en linje

Beräkna lutningen (k-värdet) och skriva ekvationen till en linje

Detta är en genomgång som är tydlig och som rekommenderas starkt.

Digital hjälp:

Beräkna k-värde och m-värde​


Taluppfattning: Sammanfattning av grunderna

Taluppfattning: Sammanfattning om det viktigaste!

Sammanfattningen täcker bara de viktigaste delarna av området och är tänkt som en snabbrepetition inför exempelvis ett prov!

Ett par år tidigare har jag också gjort en videosammanfattning över samma område. Lite olika upplägg, men denna finns här för dig som vill: Del 1 (av 2). Del 2 (av 2).


Algebra: Sammanfattning av grunderna

Sammanfattning om grunderna i algebra

Genomgången är gjord för enklare kurs och täcker enbart grunderna och inte allt innehåll i Matematik 1b.

Fortsättning:

Blandade frågor om algebra

Provet (som frågorna kommer ifrån) täcker inte hela Matematik 1b, utan är hämtade från grundskolan. Men mycket är lika och de här frågorna är bra att träna på i början. Kan du dem?


Enhetsomvandlingar

Enhetsomvandling: längd, area, volym

Du ska multiplicera eller dividera med 10 för varje ruta du “hoppar”.

Om du ska omvandla till en mindre enhet måste du göra värdet större (eftersom du behöver “fler” av den lilla enheten). Du ska alltså multiplicera!

Om du ska omvandla till en större enhet måste du göra värdet mindre (eftersom du behöver “färre” av den stora enheten). Du ska alltså dividera!

En kortare genomgång

En mer utförlig genomgång över samma innehåll

VIKTIGT: Träna enhetsomvandling

Om du går in på hemsidan nomp.se och skapar ett användarkonto där så finns det jättemånga bra uppgifter att träna på med enhetsomvandling. 

 

 
De uppgifter du bör leta efter finns på olika nivåer, från nivå 5A till nivå 9C. Klicka på knapparna LÄTTARE och SVÅRARE för att växla mellan nivåerna och hitta rätt uppgifter.

 

Följande uppgifter handlar om enhetsomvandling:

  • Nivå 5A: Enheter volym
  • Nivå 5A: Enheter längd
  • Nivå 8A: Enheter
  • Nivå 8B: Enheter
  • Nivå 8D: Enheter (2 st)
  • Nivå 9A: Enheter
  • Nivå 9B: Enheter
  • Nivå 9C: Enheter

Gör alla!


Längd | Area | Volym

Från formelbladet (som nästan alltid är tillåtet på prov)

Klicka för förstoring.

Klicka för förstoring.

Repetition av grunder: area och omkrets

Detta är repetitionsklipp från högstadiet, men kan vara bra att titta på om du tycker geometri är svårt.

Enkel genomgång:
Vad är area och omkrets?

Enkel genomgång:
Arean av en triangel

Enkel genomgång:
Talet pi och cirkelns omkrets

Enkel genomgång:
Arean av en cirkel

Area

Area: exempeluppgift från boken

Uppgift 6216a och b från Origo 1b

Volym

Hur du beräknar volymen för kub, rätblock, prisma, cylinder, pyramid, kon och klot.

Två exempel och vad som är bra att tänka på!

En till genomgång om volym

Volym: Uppgifter på C/A-nivå

Uppgift 1

C/A-nivå: Bra uppgift att prova själv! Sedan kan du kolla om du tänkt lika!

Uppgift 2

En till nästan likadan uppgift som du kan prova själv på, så att du kan testa om du verkligen behärskar detta! C/A-nivå.

 

Uppgift 3

A-uppgift om volym. Prova om du klarar den själv!

Uppgiften kräver att du känner till begreppet förhållande, se genomgång längre ned på denna sida.

 

Andel och förhållande

Ofta kommer du stöta på uppgifter i geometriavsnittet som kräver förståelse för begreppen andel och förhållande. Här kommer flera genomgångar om detta. Många av uppgifterna ärextra bra för dig som vill visa kunskaper för högre betyg.


Pythagoras sats

Pythagoras sats

Bevis för att satsen fungerar

Utmanande uppgift

Helen vill beställa en 60-tums TV och vill veta hur stor bredden och höjden på TV-bilden är. 

Förhållandet mellan bredd och höjd på en vanlig tv (HD-format) är 16 : 9. 

Vilka mått har TV-skärmen?

Klicka på bilden nedan för att se lösningsförslaget – men prova lös uppgiften själv först!


Symmetri

Symmetri: spegelsymmetri och rotationssymmetri

Kort genomgång av enbart det viktigaste

Längre liknande genomgång, men med fler exempel och tydligare förklaring


Skala

Skala: förstoring och förminskning

Längdskala, areaskala, volymskala

På formelbladet:

Exempel.

Om längdskalan (vanliga skalan) är 1 : 10, så kan vi räkna ut areaskalan och volymskalan så här:

Areaskalan blir 1 : 100 (uträkning: 1·1=1 och 10·10=100). Arean i en figur förminskas alltså till en hundradel om figurens längder minskas till en tiondel. 

Volymskalan blir 1 : 1000 (Uträkning: 1·1·1=1 och 10·10·10=1000). Volymen förminskas alltså till en tusendel om alla längder minskas till en tiondel. 

Svårare exempel.

Om längdskalan (vanliga skalan) är 2 : 3, så kan vi räkna ut areaskalan och volymskalan så här:

Areaskalan blir 4 : 9 (uträkning: 2·2=4 och 3·3=9). Arean i en figur förminskas alltså till en fyra niondelar om figurens längder minskas till två tredjedelar. 

Volymskalan blir 8 : 27 (Uträkning: 2·2·2=8 och 3·3·3=27). Volymen förminskas alltså till åtta tjugosjundedelar om alla längder minskas till två tredjedelar. 

Hur fungerar skala om det gäller area eller volym?


Vinklar

Introduktion: Olika slags vinklar

  • Rät vinkel
  • Spetsig vinkel
  • Trubbig vinkel
  • Rak vinkel

Vinklar i trianglar och olika slags trianglar

  • Rätvinklig triangel, liksidig triangel, likbent triangel.
  • Vinkelsumma i en triangel, fyrhörning, månghörning.

Implikation | Ekvivalens

Matematisk argumentation: implikation och ekvivalens

Liknande genomgång men med andra exempel: