Dagsarkiv: 21 augusti, 2018


Randvinkelsatsen med följdsatser

Genomgångar:

Randvinkelsatsen

En till genomgång om randvinkelsatsen (med bevis)

Begrepp

Klicka runt lite nedan:

Testa själv:

Randvinkelsatsen

Regel:
En medelpunktsvinkel är alltid dubbelt så stor som en randvinkel.

Dra i punkterna nedan så ser du!

Följdsatser till randvinkelsatsen

Regel:
Alla randvinklar som utgår från en och samma cirkelbåge är alltid lika stora.

Dra i punkterna nedan så ser du!

Regel:
Randvinklar till en halvcirkelbåge är räta vinklar.

Dra i punkterna nedan så ser du!

Regel:
I en fyrhörning som är inskriven i en cirkel är motstående vinklar tillsammans 180 grader.

Dra i punkterna nedan så ser du!

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till den.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Anteckning 2019-10-30 201105

Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).


Tiologaritmer och exponentialekvationer med basen 10

Matematik 2b och 2c

Dessa genomgångar innehåller logaritmer. Logaritmer är ett moment som enbart ingår i Matematik 2b och 2c, inte 2a.

- Tiologaritmer
- Exponentialekvationer med basen 10

Tiologaritmer

En till liknande genomgång

Exponentialekvationer och tiologaritmer

Beskriver hur tiologarimer kan användas för att lösa exponentialekvationer med basen 10.


Potenser och logaritmer: Tillämpningar

OBS: Vissa genomgångar nedan innehåller logaritmer. Logaritmer är ett moment som enbart ingår i Matematik 2b och 2c, inte 2a.

Formler

Exponentiell förändring

y = startvärde · förändringsfaktorn x

Om du inte vet varken det gamla eller nya värdet så kan du använda nedanstående formel också:

total ff = ff antal gånger

Linjär förändring

Ingår ej i detta kapitel, men i de uppgifterna som du får ska du ofta jämföra en exponentiell förändring med en linjär förändring…

y = rörligt värde · x + startvärde

Introduktion

Potensekvationer och exponentialekvationer; vad är skillnaden och hur gör man?

(Klippet går ej igenom algebraisk lösning av exponentialekvationen.)

Potensfunktioner och exponentialfunktioner: tillämpningar

Tre viktiga uppgifter som du måste kunna!

Fyra huvudfrågeställningar (viktigt!)

- Beräkna gamla värdet
- Beräkna nya värdet
- Beräkna förändringsfaktorn
- Beräkna antalet förändringar

Mycket tydligt klipp!

Fler textuppgifter

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till denna.

Beteckningarna 2a, 2b och 2c

Beteckningarna anger vilka kurser som uppgiftens innehåll lämpar sig för. 

Observera att en uppgift kan ses som relevant för en kurs, även om den inte varit med på ett nationellt prov för just den kursen. Mitt tips är att träna på alla uppgifter som har din kursbeteckning!

Löses utan digitala hjälpmedel. Från vt 2014 (Matematik 2b och 2c).

a- och b-uppgiften är relevanta även för Matematik 2a.

Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från HT 2013 (Matematik 2b och 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från VT 2015 (Matematik 2c).

Från VT 2015 (Matematik 2c).

Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).


Lösa exponentialekvationer | Logaritmlagarna 2

Matematik 2b och 2c

Dessa genomgångar innehåller logaritmer. Logaritmer är ett moment som enbart ingår i Matematik 2b och 2c, inte 2a.

Metod för att lösa exponentialekvationer

Detta är en del av en längre genomgång. Klippet ska starta på rätt ställe.

Spela videoklipp

Svårare exempel

Uppgift 4352c från Origo 2b.

För dig som är nyfiken: Olika typer av logaritmer (överkurs) och ytterligare metod att lösa exponentialekvationer.

Du behöver endast kunna Metod 1.

Exponentialekvationer, fler klipp

Snabbgenomgång: Först en potensekvation och sedan en exponentialekvation

Blandat

Att lösa exponentialekvationer (samt lite logaritmlagar)

Fler exponentialekvationer

Logaritmlagar

Mer om logaritmlagarna

Logaritmlagar: Tre uppgifter av blandad sort

Lösa exponentialekvationer utan att använda logaritmlagarna


Lösa exponentialekvationer genom omskrivning till bas 10

Endast för högre betyg? Fråga din lärare!

Ger bra förståelse!

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till denna.

Beteckningarna 2a, 2b och 2c

Beteckningarna anger vilka kurser som uppgiftens innehåll lämpar sig för. 

Observera att en uppgift kan ses som relevant för en kurs, även om den inte varit med på ett nationellt prov för just den kursen. Mitt tips är att träna på alla uppgifter som har din kursbeteckning!

b-uppgiften är relevant för Matematik 2a.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 2b och 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från vt 2014 (Matematik 2b och 2c).

b-uppgiften är relevant för Matematik 2a.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från vt 2014 (Matematik 2b och 2c).

b-uppgiften är relevant för Matematik 2a.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2c).

a- och c-uppgifterna är relevanta för Matematik 2a.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

a- och b-uppgiften är relevanta även för Matematik 2a.

Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från HT 2013 (Matematik 2b och 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 2b).

a- och b-uppgifterna är relevanta för Matematik 2a.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från VT 2015 (Matematik 2c).

Från VT 2015 (Matematik 2c).

Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 2b).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2c).

b14

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

ekvationssystem3

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 2c).


Potensregler | Regler för rötter 3

Repetition från Matematik 1

  • Grundläggande potensregler
  • Negativ exponent
  • Noll som exponent

Gå till sidan om potenser för Matematik 1.

Potensregler och regler för rötter (t.ex. kvadratrötter)

Potenser med heltalsexponenter

Potenser med rationella exponenter samt regler för rötter

Rationella exponenter innebär när exponenten är ett rationellt tal, t.ex. ett bråk eller decimaltal.

På vilket sätt hör potenser och rötter (kvadratrot, kubikrot etc) ihop?

Från formelbladet:

Ytterligare genomgångar

Regler för rötter (t. ex. kvadratrötter)

Enklare grunder om rötter (Matematik 1)

Jämföra potenser - vilken är störst? (Svåra uppgifter)

Fler exempel om att förenkla potenser

Bra träningsuppgifter!

Fler exempel med rationella exponenter

Två svåra uppgifter om att förenkla potenser med rationella exponenter

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till denna.

Beteckningarna 2a, 2b och 2c

Beteckningarna anger vilka kurser som uppgiftens innehåll lämpar sig för. 

Observera att en uppgift kan ses som relevant för en kurs, även om den inte varit med på ett nationellt prov för just den kursen. Mitt tips är att träna på alla uppgifter som har din kursbeteckning!

Löses utan digitala hjälpmedel. Från vt 2014 (Matematik 2b).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2b).

b10

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Potensekvationer

Gå till sidan om potensekvationer.


Ekvationssystem: tillämpningar (problemlösning)

Tillämpningar (problemlösning)

En till textuppgift

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till denna.

Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Anteckning 2019-10-30 201048

Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

En till svår uppgift, med videoförklaring!

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.00.37

Ekvationssystem: algebraisk lösning 1

Repeterande genomgång om alla tre metoderna:

-Additionsmetoden
-Substitutionsmetoden
-Grafisk lösning

Bra om du vill ha genomgång på ALLA metoderna och orkar hålla fokus 🙂
OBS: Har du aldrig arbetat med detta förut så börja titta på genomgångarna längre ner!

Hur du löser ett ekvationssystem algebraiskt

Steg 1 kan göras med antingen substitutionsmetoden eller additionsmetoden:

  1. Skapa en ekvation som endast innehåller en sorts variabel (tex bara x eller bara y).
  2. Lös ekvationen. Då vet du värdet på ena variabeln.
  3. Räkna ut den andra variabeln.

Metod 1: Substitutionsmetoden

Genomgång om substitutionsmetoden

Fler liknande genomgångar om substitutionsmetoden

Prova gärna att lösa uppgifterna själv först och använd genomgången som ett sätt att se om du fått rätt och vad du eventuellt kunde ha gjort annorlunda.

Metod 2: Additionsmetoden

Genomgång om additionsmetoden

Liknande genomgång

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till denna.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från HT 2013 (Matematik 2b och 2c).

Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från HT 2013 (Matematik 2b och 2c).

Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Denna uppgift inkluderar kunskaper om logaritmer (senare i kursen)

ekvationssystem3

Ekvationssystem: grafisk lösning

Lösa ekvationssystem grafiskt

När du löser ett ekvationssystem grafiskt handlar det om att ta fram eventuella skärningspunkter mellan funktionernas grafer. Detta kan du göra för hand eller med digitalt hjälpmedel.

Lösa ekvationssystem grafiskt, för hand eller digitalt med GeoGebra:

Fler liknande genomgångar

Metod 1: För hand

Rita upp ekvationssystemet för hand och läs av skärningspunkten

Denna metod går jättebra om det är ett enkelt ekvationssystem, men annars blir den bökig att använda.

Metod 2: Digitalt

Rita upp ekvationssystemet i GeoGebra (eller liknande program) och ta fram skärningspunkten

Denna metod är enklare och snabbare om du har dator eller telefon till hands. 

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till denna.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Ekvationssystemen som bildas i uppgifterna nedan kan (och får) lösas både algebraiskt och grafiskt. Prova lös dem grafiskt nu och se om du kan detta.

Ofta spar du tid på att göra en digital grafisk lösning istället för en algebraisk. Det kan vara smart under en provsituation.

Från HT 2013 (Matematik 2b och 2c).

Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från HT 2013 (Matematik 2b och 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).


Parallella och vinkelräta linjer 1

Parallella och vinkelräta linjer,
samt k-form och allmän form

Olika sätt att skriva en rät linje

k-form:

y = kx + m

I många andra länder använder man a och b istället för k och m:
y = ax + b

Allmän form:

ax + by + c = 0

Parallella linjer och vinkelräta linjer

Genomgång som både handlar om k-form och allmän form samt parallella linjer och vinkelräta linjer

En till liknande genomgång om innehållet ovan

Förklaring till varför formeln k1 · k= -1 fungerar för vinkelräta injer.

Klippet startar en bit in i genomgången!

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till denna.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).


Sammanfattning: Andragradsfunktioner

Snabba sammanfattningar för att "fräscha upp" det viktigaste.

Det viktigaste om att lösa andragradsekvationer och förstå andragradsfunktioner.

Ultrasnabb (?) sista minuten-sammanfattning

Rekommenderas endast för att snabbt fräscha upp vad området handlar om.

Lång sammanfattning: Andragradsekvationer och andragradsfunktioner

Sammanfattning: Andragradsfunktioner
(ej ekvationslösning)


Tillämpningar andragradsfunktioner 3

Kom ihåg!

Klicka på bilden för förstoring.

Tillämpningar (problemlösningsuppgifter) andragradsfunktioner

Genomgång med exempeluppgift (kaströrelse)

Fem problemlösningsuppgifter med utförliga videolösningar

Först tre uppgifter om kaströrelse:

Uppgift 1

Uppgift 2

Uppgift 3

Två uppgifter som handlar om area

Uppgift 4

Uppgift 5

Andragradsekvationer och andragradsfunktioner​

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till denna.

Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Från VT 2013 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Fler "A-uppgifter":

Dessa uppgifter kommer inte nödvändigtvis från nationella prov

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.49.14
Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.49.55
Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.50.14
Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.50.33
Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.44.35
Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.47.15

Undersöka grafen till en andragradsfunktion 2

Karaktär (utseende), skärning med y-axeln, nollställen, symmetrilinje, extrempunkt (minimipunkt, maximipunkt)

Liknande genomgång som tar upp hur du beräknar startvärde, nollställen, symmetrilinje, extrempunkt (minimipunkt, maximipunkt)

En till genomgång med mer fokus på hur grafen ser ut.

Fortsätt gärna till delen med tillämpningar, uppgifterna där handlar till oerhört stor del om detta!

Svår A-uppgift

Finns det något värde på a som gör att funktionen f(x) = x2 + 2ax har sin extrempunkt på linjen y = -3x + 5 ?

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till denna.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2015 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 2b och 2c).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 2a, 2b eller 2c).

Många E, C- och A-uppgifter:

Uppgifter för Matematik 2 sorterade efter område - med videoförklaringar!

E-nivå
C-nivå
A-nivå (extra många)


Andragradsekvationer grafiskt

Antal lösningar till en andragradsekvation: grafiskt och algebraiskt

Längre genomgång som ger förståelse både för algebraisk metod och grafisk metod för att ta reda på ANTALET lösningar som en ekvation har.

Positivt under roten -> 2 reella lösningar.
0 under roten -> 1 reell lösning (det kallas dubbelrot).
Negativt under roten -> 0 reella lösningar. (Men komplexa, med talet i. Dessa lösningar kan dock inte ses i själva grafen ).

Det under rottecknet kallas diskriminant.