Dagsarkiv: 31 augusti, 2018

Geometrisk talföljd och geometrisk summa

Geometrisk talföljd och geometrisk summa

Geonomgång om geometriska talföljder och geometrisk summa

Två tillämpningsuppgifter

Geometrisk summa och ekonomisk tillämpningsuppgift

En genomgång som fokuserar på lite enklare uppgifter:

Nuvärde

Annuitetslån

Genomgång om lån med rak amortering och annuitetslån.

Liknande genomgång

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till den!

Från HT 2012 (Matematik 3b).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 3b)

Från HT 2012 (Matematik 3b).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Från VT 2011 (Tidigare kursen Matematik C, vilket gör att poängmarkeringen ser annorlunda ut).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Från HT 2013 (Matematik 3b)

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 3b)

Från VT 2013 (Matematik 3b)

Linjär optimering

Linjär optimering: Största och minsta värdet i ett område

Att hitta en funktions största och minsta värde

Om du har en funktion som beror på två variabler, x och y, så kan du hitta funktionens största och minsta värde genom att undersöka hörnpunkterna i det tillåtna området i koordinatsystemet. 

Funktionen brukar kallas för målfunktion.

Tre huvudsteg i linjär optimering:

  1. Identifiera vilka villkor som måste uppfyllas.
    Skriv dessa villkor som ett system av olikheter.
  2. Rita upp området och ta reda på hörnkordinaterna.
    Enklast gör du detta i GeoGebra.
  3. Undersök vilken kombination som ger störst värde på ”målfunktionen”.

Linjär optimering: Tillämpningar

Tydlig uppgift och strukturerad arbetsgång.

Exempelupgift:

Tre huvudsteg i linjär optimering:

  1. Identifiera vilka villkor som måste uppfyllas.
    Skriv dessa villkor som ett system av olikheter.

  2. Rita upp området och ta reda på hörnkordinaterna.
    Enklast gör du detta i GeoGebra.

  3. Undersök vilken kombination som är mest optimal.
    Detta görs med en målfunktion som i den här uppgiften beskriver totala vinsten.

Tydlig genomgång om linjär optimering (uppgiften ovan)

Spela videoklipp

Liknande genomgång men med ett annat exempel

Varför återfinns största respektive minsta värdet alltid i ett av områdets hörn?

Hur gör man enklast på grafritande räknare om man inte får använda dator?

Vissa skolor säger nej till datorer under prov (2024) så det kan vara bra att veta hur man gör även på räknaren. 

Att lösa uppgifter för hand, utan dator eller grafritande räknare

I de allra flesta fall bör du få använda digitala hjälpmedel för dessa uppgifter, men om du skulle sakna ett sådant behöver du bland annat kunna lösa ett ekvationssystem för hand.

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till den!

Från VT 2013 (Matematik 3b eller 3c)

Från VT 2014 (Matematik 3b)

Från HT 2013 (Matematik 3b)

Olikheter och system av olikheter

Repetition

Matematik 1:
Likhetstecken, olikhetstecken och att lösa olikheter
= < ≤ > ≥

Dessutom: Att markera olikheter på tallinjen.

Olikheter och system av olikheter

- Att markera olikheter i planet (koordinatsystemet)
- System av olikheter

I denna genomgång går jag igenom hur du markerar en olikhet i koordinatsystemet, samt hur du gör för att markera ett område som uppfylls av flera olikheter. En sådan uppställning med flera olikheter kallas för ett ”system av olikheter” och fungerar ungefär som ett ekvationssystem.

Vissa läroböcker kallar det för ”halvplan” när man markerar en olikhet i ett koordinatsystem.

Fler liknande genomgångar

Tillämpningar av primitiva funktioner och integraler 7

Tillämpningar av integraler: tydlig genomgång

Del 1 av 2. Förstå när du ska göra vad.

Del 2 av 2. Två exempel till.

En till liknande genomgång med fler exempel

Hur kan jag veta när jag ska derivera, ta fram primitiv funktion eller skriva integral?

Videoförklaring till bilden ovan! Klippet startar på rätt ställe.

Genomgång om bilden ovan samt exempeluppgift om integral

En liknande genomgång, men där minnesreglerna är formulerade lite annorlunda:

Exempeluppgifter

Tillämpningsuppgifter om hastighet och sträcka.

Klippet ska starta vid minut 10.

Svårare exempeluppgifter

Tillämpningsuppgifter om acceleration, hastighet och sträcka.

Uppgift 1 (kort viktig introduktion först)

Uppgift 2

Lånad från Origo 3c.

Genomgången är lite ”hastig” då det var tidspress i slutet av lektionen.

Uppgift 3: LEJONKUNGEN

I filmen Lejonkungen faller Mufasa nerför en klippa. Vi räknar här ut hur högt fallet var. Det vi utgår ifrån är att vi vet accelerationen på jorden och hur lång tid fallet tar. Här kan du se fallet: https://youtu.be/Yw0DXswF5MI?t=82.

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till den!

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2014 (Matematik 3c)

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2014 (Matematik 3b)

Från HT 2013 (Matematik 3c)

Videolösning finns om du klickar på bilden.

Alternativ lösning som också ger full poäng:  https://vidma.se/wp-content/uploads/2020/12/Whiteboard-106.png

Från HT 2012 (Matematik 3b eller 3c).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

PDF: Tio uppgifter till med videolösningar

Klicka på bilden för att öppna pdf-dokumentet.

Dokumentet är indelat i tre delar, beroende på vad uppgifterna handlar om:

  • Del 1: Sträcka, hastighet, acceleration
  • Del 2: Antal (exempelvis folkmängd)
  • Del 3: Kostnad, marginalkostnad

Lösningar till del 1

Lösningar till del 2

Lösningar till del 3

Videolösningarna till del 3 innehöll räknefel och jag har därför tagit bort det klippet. 

Arean mellan två grafer

Att beräkna arean mellan två grafer med hjälp av integral

Enklare genomgång:

När du förstått principen kan du om du vill gå över till att innanför integraltecknet direkt skriva funktionsuttrycken f(x) – g(x), alltså  ∫(övre funktionen – undre funktionen) dx, och göra en förenkling innan du skapar en primitiv funktion och beräknar. Det fungerar lika bra och blir lite mindre att skriva!

Beräkna arean mellan två kurvor snabbt i GeoGebra

Testa genom att ändra direkt nedan.

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till den!

Från HT 2013 (Matematik 3b och 3c)

Integraler | Arean under en graf 6

Integraler

Liknande genomgångar, kanske med enklare exempel:

Integraler, del 1: Vad är en integral och hur uppskattar man värdet av en integral?

Integraler, del 2: Hur beräknar man en integral?

Integraler: så här skriver man!

Liknande genomgång

Liknande genomgångar över vad integraler är och hur man beräknar sådana. 

Beräkna en integral (arean under graf) snabbt med digitala verktyg

På den del på ett nationellt prov där du får använda digitala hjälpmedel är det fullt tillåtet att använda funktionerna nedan. Du måste dock på pappret beskriva vilket verktyg du använd, vad du skrivit in i detta och vad du fått för resultat.

GeoGebra:

Testa genom att ändra direkt bredvid.

På grafräknaren:

TI-82, TI-83, TI-84, m.fl.

Kommandot fnInt( hittar du om du trycker på knappen MATH och bläddrar nedåt. 

Du skriver fnInt( funktionen , x , från , till ) med kommatecken mellan (använd ej punk). Till skillnad mot på GeoGebra behöver du skriva dit att du använder variabeln x. 

På TI-84 ser detta annorlunda ut och mer likt hur vi skriver på papper.

Bevis:

Hur kan den primitiva funktionen ge arean under en graf?

Det ingår inte i Matematik 3 att förstå detta bevis. Däremot är det en vanlig fråga hur det kommer sig att en primitiv funktion motsvarar en area. 

Översumma och undersumma

Översumma, undersumma, integral och hur vi ställer upp och beräknar en integral

Geogebradokumentet som används i klippet återfinns i gröna rutan längre ned på sidan.

Att undersöka arean under en graf med översumma och undersumma

Klicka på bilden och prova dig fram!

Integraler: Uppgifter

En exempeluppgift

Uppgifter från boken

Origo 3b.

Uppgifter: 5202, 5204, 5211ab, 5212, 5213, 5214a, 5215.

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till den!

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 3b eller 3c)

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 3b eller 3c).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Från HT 2013 (Matematik 3b och 3c)

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 3b och 3c)

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 3b eller 3c)

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 3b och 3c)

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2014 (Matematik 3b och 3c)

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 3b eller 3c)

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 3b eller 3c).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Från VT 2014 (Matematik 3b och 3c)

Primitiva funktioner 4

Primitiva funktioner

Tydlig introducerande genomgång!
Vad är en primitiv funktion och hur hittar vi en sådan?

I genomgången behandlas polynomfunktioner.

En bra genomgång om du redan har lite hum om vad detta är:

En till liknande genomgång över samma innehåll.

Testa digitala uppgifter direkt här:

Öppna i helskärm: https://vidma.se/primitiv

Hitta primitiv funktion till svårare potensfunktioner

- Funktioner med kvadratrot eller annan rot
- Funktioner med potens i nämnaren

Snabbgenomgång av fyra exempel.

Primitiva funktioner med villkor

Blir oftast viktigast vid tillämpningsuppgifter, se längre ner för sådana uppgifter.

Kort genomgång om primitiva funktioner med villkor

Primitiva funktioner med villkor, något längre genomgång

Tillämpningsuppgifter (primitiva funktioner med villkor)

Tillämpningsuppgift om hastighet och sträcka.

Klippet ska starta vid minut 10.

Svårare exempeluppgift (tillämpningar: primitiv funktion med villkor)

Lånad från Origo 3c.

Genomgången är lite ”hastig” då det var tidspress i slutet av lektionen.

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till den!

Från VT 2014 (Matematik 3b och 3c)

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 3b eller 3c)

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 3b eller 3c)

Tillämpningar: Extremvärdesproblem (textuppgifter) 5

Tillämpningar

  1. Beräkna: Var finns största eller minsta värdet? (Vad ska x vara?)
  2. Verifiera: Är det verkligen det största respektive minsta värdet? (Andraderivata!)
  3.  Beräkna värdet. (Funktionsvärdet)

Fyra exempeluppgifter, från enkla till riktigt svåra.

Del 1

Del 2 (fortsättning). 

Om den sista uppgiften hade kommit på ett prov så hade du fått använda räknare/dator och kunnat lösa den grafiskt. 

Två exempeluppgifter, en enklare och en svårare.

I dessa två exempel verifierar vi inte med andraderivata att maxpunkten verkligen är en maxpunkt. (Eleverna hade inte kommit till det avsnittet än).

A-uppgift om extremvärde

Uppgifter med videoförklaringar

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till den.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2014 (Matematik 3b och 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 12).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2014 (Matematik 3b och 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 21).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 3b och 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 12).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 3b eller 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 13).

Från VT 2011 (Tidigare kursen Matematik C, vilket gör att poängmarkeringen ser annorlunda ut).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 13).

Löses utan digitala hjälpmedel. 
Från VT 2012 (Tidigare kursen Matematik C, vilket gör att poängmarkeringen ser annorlunda ut).

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 9).
I filen ligger hela provhäftet med, så scrolla ner en bra bit.

Från VT 2013 (Tidigare kursen Matematik C, vilket gör att poängmarkeringen ser annorlunda ut).

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 17).
I filen ligger hela provhäftet med, så scrolla ner en bra bit.

Från HT 2013 (Matematik 3b och 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 23).

Från VT 2014 (Matematik 3b och 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 25).

Från VT 2013 (Matematik 3b)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 23).

Från HT 2012 (Matematik 3b eller 3c).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 23).

Funktionens graf och derivatan

Funktionens graf och derivatans graf

Ganska lång genomgång, men du kommer garanterat att förstå!

Att få förståelse för hur funktionens graf ser ut, utifrån derivatans graf

Hur vi utifrån derivatans graf kan ta reda på ungefär hur funktionens graf ska se ut, och var den har sina extremvärden.

Rekommenderas starkt! Kan ge mycket bra förståelse för något som är ganska knepigt i början.

En till genomgång om derivatans graf

- Hur derivatan varierar på olika ställen på funktionens graf.
- Derivatans nollställen och funktionens extrempunkter.
- Hur derivatans graf kan ritas.

Undersök derivatans graf själv nedan!

Länk: Öppna geogebraprogrammet i helskärm.

Att undersöka en funktions graf med hjälp av derivata 2

Tydlig genomgång över det mesta som är viktigt (tre exempeluppgifter)

...om hur vi hittar extrempunkter och terrasspunkter samt bestämmer karaktären med hjälp av andraderivata eller teckentabell.

Digital övning:
Hitta extrempunkter och terrasspunkter

En liknande exempeluppgift från ett nationellt prov, men något enklare:

Gör gärna denna uppgift som träning direkt efter att du har sett genomgångarna ovan.

Spela videoklipp

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2014 (Matematik 3b och 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 13).

En liknande exempeluppgift.

OBS, korrigeringar gällande genomgångarna nedan:

I flera av klippen nedan gör jag två återkommande fel:

  • En terrasspunkt är inte en extrempunkt, trots att jag i flera videor säger det. Till begreppet extrempunkt hör maximipunkt och minimipunkt.

    Ändpunkterna i intervallet (definitionsmängden) räknas också som maximipunkt eller minimipunkt (och därmed extrempunkt) om kurvan antingen går uppåt eller nedåt där.

  • Om andraderivatan är 0 i en punkt som också har lutningen 0 kan vi inte dra slutsatsen att punkten säkert är en terrasspunkt.  Om andraderivatan är 0 så måste vi visa karaktären med hjälp av teckentabell istället.

    Oftast gäller att om andraderivatan är 0 så är det en terrasspunkt, men det finns undantag. Ett undantag är f(x) = x4 som har en minimipunkt, men där andraderivatan i den punkten ändå är 0.

Längre sammanfattande genomgång

...om hur vi hittar extrempunkter och terrasspunkter samt bestämmer karaktären med hjälp av andraderivata eller teckentabell.​

Du bör titta på denna genomgång som repetition, inte som första genomgång över området tror jag…

Rekommendation: Fyra uppdelade klipp över de viktigaste delarna i det här området:

Del 1: Beräkna startvärde (repetition!)

Del 2: Beräkna nollställen (repetition!)

Del 3: Hitta extrempunkterna (viktigt!)

OBS: Det är bara minimipunkter och maximipunkter som räknas som extrempunkter. Terasspunkt är ett eget begrepp. Principen är dock lika för hur man räknar ut en sådan. 
(Insikt nyligen).

Del 4: Skissa grafen med hjälp av teckentabell (viktigt!)

Extremvärden och derivatan

Att rita grafen med hjälp av teckentabell

Att hitta och undersöka extremvärden till en funktion genom att använda derivata och teckentabell.

En till liknande genomgång som tar upp följande:

  • Beräkna startvärde
  • Beräkna nollställen
  • Beräkna var extrempunkterna finns (x-värde och y-värde)
  • Rita teckentabell
  • Rita graf

Andraderivatan och extrempunkters karaktär

Vad är andraderivata och hur kan vi använda den för att bestämma en extrempunkts karaktär?

… det vill säga om det är en minimipunkt, maximipunkt eller terasspunkt.

Rekommenderas!

Mot högsta betyg:
Att undersöka grafens utseende för potensfunktioner, där x är i nämnaren.

Denna genomgång är bra för dig som siktar mot de högsta betygen!

Stort sammanfattande klipp på allt det viktiga

Att undersöka en graf: ta reda på ALLT" och sedan skissa grafen.

  • Startvärde
  • Nollställen
  • Extrempunkters läge
  • Extrempunkters värde (extremvärden)
  • Extrempunkters karaktär (min, max eller terass?)
  • Intervall där funktionen är strängt växande eller strängt avtagande
  • Definierad för alla x?

Tre exempel från E-nivå till C-nivå.

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till den!

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2014 (Matematik 3b och 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 13).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 3b eller 3c).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 12).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 3b eller 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 6).

Från VT 2013 (Matematik 3b eller 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 18).

Löses utan digitala hjälpmedel. 
Från VT 2011 (Tidigare kursen Matematik C, vilket gör att poängmarkeringen ser annorlunda ut).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 3).

Från VT 2014 (Matematik 3b och 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 22).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 3b och 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 12).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 3b eller 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 13).

Från VT 2013 (Matematik 3b eller 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 22).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2012 (Matematik 3b eller 3c).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 7).

Från VT 2011 (Tidigare kursen Matematik C, vilket gör att poängmarkeringen ser annorlunda ut).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 12).

Från VT 2011 (Tidigare kursen Matematik C, vilket gör att poängmarkeringen ser annorlunda ut).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 13).

Från HT 2013 (Matematik 3b och 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 23).

Från VT 2014 (Matematik 3b och 3c)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 25).

Från VT 2013 (Matematik 3b)

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 23).

Från HT 2012 (Matematik 3b eller 3c).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Bedömningsanvisningar/facit (uppgift 23).