Dagsarkiv: 31 augusti, 2018


Geometrisk talföljd och geometrisk summa

Geometrisk talföljd och geometrisk summa

Geometrisk summa och ekonomisk tillämpningsuppgift

En genomgång som fokuserar på lite enklare uppgifter:

Annuitetslån mm.

Genomgång om nuvärde, lån med rak amortering och annuitetslån.

Uppgifter från tidigare nationella prov:

Klicka på en uppgift för att se en videoförklaring till den!

Från HT 2012 (Matematik 3b).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2013 (Matematik 3b)

Från HT 2012 (Matematik 3b).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Från VT 2011 (Tidigare kursen Matematik C, vilket gör att poängmarkeringen ser annorlunda ut).
Videoförklaringen är gjord av min tidigare kollega David Johansson.

Från HT 2013 (Matematik 3b)

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 3b)

Från VT 2013 (Matematik 3b)


Linjär optimering

Linjär optimering: Största om minsta värdet i ett område

Att hitta en funktions största och minsta värde

Om du har en funktion som beror på två variabler, x och y, så kan du hitta funktionens största och minsta värde genom att undersöka hörnpunkterna i det tillåtna området i koordinatsystemet.

Funktionen brukar kallas för målfunktion.

Tre huvudsteg i linjär optimering:

  1. Identifiera vilka villkor som måste uppfyllas.
    Skriv dessa villkor som ett system av olikheter.
  2. Rita upp området och ta reda på hörnkordinaterna.
    Enklast gör du detta i GeoGebra.
  3. Undersök vilken kombination som ger störst värde på “målfunktionen”.

Linjär optimering: Tillämpningar

Tydlig uppgift och strukturerad arbetsgång.

Exempelupgift:

Tre huvudsteg i linjär optimering:

  1. Identifiera vilka villkor som måste uppfyllas.
    Skriv dessa villkor som ett system av olikheter.

  2. Rita upp området och ta reda på hörnkordinaterna.
    Enklast gör du detta i GeoGebra.

  3. Undersök vilken kombination som är mest optimal.
    Detta görs med en målfunktion som i den här uppgiften beskriver totala vinsten.

Tydlig videoförklaring om linjär optimering (uppgiften ovan)

Spela videoklipp

Ytterligare uppgift med utförlig förklaring, denna gång med lösning utan Geogebra.


Olikheter och system av olikheter

Repetition

Matematik 1:
Likhetstecken, olikhetstecken och att lösa olikheter
= < ≤ > ≥

Dessutom: Att markera olikheter på tallinjen.

Olikheter och system av olikheter

- Att markera olikheter i planet (koordinatsystemet)
- System av olikheter

I denna genomgång går jag igenom hur du markerar en olikhet i koordinatsystemet, samt hur du gör för att markera ett område som uppfylls av flera olikheter. En sådan uppställning med flera olikheter kallas för ett “system av olikheter” och fungerar ungefär som ett ekvationssystem.

Vissa läroböcker kallar det för “halvplan” när man markerar en olikhet i ett koordinatsystem.

Fler liknande genomgångar


Tillämpningar av primitiva funktioner och integraler

Tillämpningar av integraler: tydlig genomgång

Hur kan jag veta när jag ska derivera, ta fram primitiv funktion eller skriva integral?

Videoförklaring till bilden ovan! Klippet startar på rätt ställe.

Genomgång om bilden ovan samt exempeluppgift om integral

Fler exempeluppgifter

Exempeluppgift: LEJONKUNGEN

Tillämpningar: primitiv funktion med villkor. Acceleration, hastighet, sträcka.

I filmen Lejonkungen faller Mufasa nerför en klippa. Vi räknar här ut hur högt fallet var. Det vi utgår ifrån är att vi vet accelerationen på jorden och hur lång tid fallet tar. Här kan du se fallet: https://youtu.be/Yw0DXswF5MI?t=82.

Svårare exempeluppgifter

Tillämpningar: primitiv funktion med villkor. Acceleration, hastighet, sträcka.

Uppgift 1 (kort viktig introduktion först)

Uppgift 2

Lånad från Origo 3c.

Genomgången är lite “hastig” då det var tidspress i slutet av lektionen.

PDF: Tio uppgifter till med videolösningar

Klicka på bilden för att öppna pdf-dokumentet.

Dokumentet är indelat i tre delar, beroende på vad uppgifterna handlar om:

  • Del 1: Sträcka, hastighet, acceleration
  • Del 2: Antal (exempelvis folkmängd)
  • Del 3: Kostnad, marginalkostnad

Lösningar till del 1

Lösningar till del 2

Lösningar till del 3


Arean mellan två grafer

Att beräkna arean mellan två grafer med hjälp av integral

Enklare genomgång:

När du förstått principen kan du om du vill gå över till att innanför integraltecknet direkt skriva funktionsuttrycken f(x) – g(x), alltså (övre funktionen – undre funktionen) dx, och göra en förenkling innan du skapar en primitiv funktion och beräknar. Det fungerar lika bra och blir lite mindre att skriva!

Beräkna arean mellan två kurvor snabbt i GeoGebra

Testa genom att ändra direkt nedan.


Integraler | Arean under en graf

Integraler, del 1: Vad är en integral och hur uppskattar man värdet av en integral?

Integraler, del 2: Hur beräknar man en integral?

Integraler: så här skriver man!

Liknande genomgång

Liknande genomgång över vad integraler är och hur man beräknar sådana.

Beräkna en integral (arean under graf) snabbt med digitala verktyg

På den del på ett nationellt prov där du får använda digitala hjälpmedel är det fullt tillåtet att använda funktionerna nedan. Du måste dock på pappret beskriva vilket verktyg du använd, vad du skrivit in i detta och vad du fått för resultat.

GeoGebra:

Testa genom att ändra direkt bredvid.

På grafräknaren:

TI-82, TI-83, TI-84, m.fl.

Kommandot fnInt( hittar du om du trycker på knappen MATH och bläddrar nedåt.

Du skriver fnInt( funktionen , x , från , till ) med kommatecken mellan (använd ej punk). Till skillnad mot på GeoGebra behöver du skriva dit att du använder variabeln x. 

På TI-84 ser detta annorlunda ut och mer likt hur vi skriver på papper.

Bevis:

Hur kan den primitiva funktionen ge arean under en graf?

Det ingår inte i Matematik 3 att förstå detta bevis. Däremot är det en vanlig fråga hur det kommer sig att en primitiv funktion motsvarar en area.

Översumma och undersumma

Översumma, undersumma, integral och hur vi ställer upp och beräknar en integral

Geogebradokumentet som används i klippet återfinns i gröna rutan längre ned på sidan.

Att undersöka arean under en graf med översumma och undersumma

Klicka på bilden och prova dig fram!

Integraler: Uppgifter

En exempeluppgift

Uppgifter från boken

Origo 3b.

Uppgifter: 5202, 5204, 5211ab, 5212, 5213, 5214a, 5215.


Primitiva funktioner

Primitiva funktioner

Tydlig introducerande genomgång!
Vad är en primitiv funktion och hur hittar vi en sådan?

I genomgången behandlas polynomfunktioner.

En bra genomgång om du redan har lite hum om vad detta är:

En till liknande genomgång över samma innehåll.

Testa digitala uppgifter direkt här:

Öppna i helskärm: https://vidma.se/primitiv

Hitta primitiv funktion till svårare potensfunktioner

- Funktioner med kvadratrot eller annan rot
- Funktioner med potens i nämnaren

Snabbgenomgång av fyra exempel.

Primitiva funktioner med villkor

Blir oftast viktigast vid tillämpningsuppgifter, se längre ner för sådana uppgifter.

Primitiva funktioner med villkor

Tillämpningsuppgift om hastighet och sträcka.

Klippet ska starta vid minut 10.

Svårare exempeluppgift (tillämpningar: primitiv funktion med villkor)

Lånad från Origo 3c.

Genomgången är lite “hastig” då det var tidspress i slutet av lektionen.


Tillämpningar: Extremvärdesproblem (textuppgifter)

Tillämpningar

  1. Beräkna: Var finns största eller minsta värdet? (Vad ska x vara?)
  2. Verifiera: Är det verkligen det största respektive minsta värdet? (Andraderivata!)
  3.  Beräkna värdet. (Funktionsvärdet)

Två exempeluppgifter, en enklare och en svårare.

I dessa två exempel verifierar vi inte med andraderivata att maxpunkten verkligen är en maxpunkt. (Eleverna hade inte kommit till det avsnittet än).

A-uppgift om extremvärde


Funktionens graf och derivatan

Funktionens graf och derivatan

- Hur derivatan varierar på olika ställen på funktionens graf.
- Derivatans nollställen och funktionens extrempunkter.
- Hur derivatans graf kan ritas.

Att få förståelse för hur funktionens graf ser ut, utifrån derivatans graf

Hur vi utifrån derivatans graf kan ta reda på ungefär hur funktionens graf ska se ut, och var den har sina extremvärden.

Rekommenderas starkt! Kan ge mycket bra förståelse för något som är ganska knepigt i början.

Undersök derivatans graf själv nedan!


Att undersöka en funktions graf med hjälp av derivata

Introduktion: Viktiga begrepp, samt hur vi kan skissa grafen med hjälp av derivata

Introducerande genomgång om både viktiga begrepp, men också hur du beräknar startvärde, nollställen och extrempunkter till en funktion.

Begrepp i genomgången:

  • Startvärde (skärning med y-axeln)
  • Nollställen (skärning med x-axeln)
  • Punkter där derivatan är 0:
    • Extrempunkter:
      • Lokal minimipunkt (min-punkt)
      • Lokal maximipunkt (max-punkt)
    • Terasspunkt
  • Strängt växande
  • Strängt avtagande

Exempeluppgift på att skissa en graf till en funktion.

Lång genomgång, men bra. Se till att ha fokus! Första delen av genomgången handlar om begreppen!

Rekommendation: Fyra uppdelade klipp över de viktigaste delarna i det här området:

Del 1: Beräkna startvärde (repetition!)

Del 2: Beräkna nollställen (repetition!)

Del 3: Hitta extrempunkterna (viktigt!)

OBS: Det är bara minimipunkter och maximipunkter som räknas som extrempunkter. Terasspunkt är ett eget begrepp. Principen är dock lika för hur man räknar ut en sådan. 
(Insikt nyligen).

Del 4: Skissa grafen med hjälp av teckentabell (viktigt!)

Extremvärden och derivatan

Att rita grafen med hjälp av teckentabell

Att hitta och undersöka extremvärden till en funktion genom att använda derivata och teckentabell.

En till liknande genomgång som tar upp följande:

  • Beräkna startvärde
  • Beräkna nollställen
  • Beräkna var extrempunkterna finns (x-värde och y-värde)
  • Rita teckentabell
  • Rita graf

Att ta reda på en funktions största och minsta värde i ett intervall

Andraderivatan och extrempunkters karaktär

Vad är andraderivata och hur kan vi använda den för att bestämma en extrempunkts karaktär?

… det vill säga om det är en minimipunkt, maximipunkt eller terasspunkt.

Rekommenderas!

Mot högsta betyg:
Att undersöka grafens utseende för potensfunktioner, där x är i nämnaren.

Denna genomgång är bra för dig som siktar mot de högsta betygen!

Stort sammanfattande klipp på allt det viktiga

Att undersöka en graf: ta reda på ALLT" och sedan skissa grafen.

  • Startvärde
  • Nollställen
  • Extrempunkters läge
  • Extrempunkters värde (extremvärden)
  • Extrempunkters karaktär (min, max eller terass?)
  • Intervall där funktionen är strängt växande eller strängt avtagande
  • Definierad för alla x?

Tre exempel från E-nivå till C-nivå.