Jonas Vikström


Standardavvikelse och normalfördelning i GeoGebra

Kommandon i GeoGebra

Dessa kommandon skrivs in direkt i inmatningsfältet.

Medelvärde i GeoGebra:

Standardavvikelse i GeoGebra:

Om du skriver in decimaltal:

Observera att decimaltecken skrivs med punkt och att kommatecken används mellan mätvärdena. 

Ex: 

2,1
1,8
1,9
2,0
2,1
1,9

Om vi vill beräkna standardavvikelsen för värdena ovan skriver vi så här: 
stdav(2.1, 1.8, 1.9, 2.0, 2.1, 1.9)

Prova direkt: Sannolikhetskalkylatorn i GeoGebra

Geonomgångar:

Beräkna standardavvikelse enkelt och snabbt med digitalt verktyg

Uppgift om standardavvikelse från nationella provet, där jag visar hur du enkelt beräknar standardavvikelse i Geogebra eller på grafritande räknaren.

Klippet startar en liten bit in i genomgången!

Att använda Geogebra för att analysera normalfördelning med andra gränser än de som står på formelbladet


Gränsvärden


Areasatsen, Sinussatsen och Cosinussatsen

Från formelbladet:

Sinussatsen används om du vet en vinkel och motstående sida, samt något mer (en vinkel eller sida). 

Cosinussatsen används om du vet alla sidors längd och vill ta reda på en vinkel, alternativt om du vet en vinkel och två sidors läng och vill ta reda på den sista sidans längd.

Areasatsen används om du vill beräkna arean och vet två sidors längs samt den mellanliggande vinkeln. Areasatsen kan också användas om du vet arean och vill beräkna en vinkel eller sida. 


Cirkelns ekvation

Från formelbladet:

I ekvationen ovan är a medelpunktens x-koordinat och b medelpunktens y-koordinat. Variabeln r är radiens längd.

Variablerna x och y är koordinaterna för valfri punkt på cirkelns rand (kant). 

Här nedan kan du experimentera med cirkelns ekvation


Högskoleprovet VT 2019

Provfrågor och facit

Provfrågorna och facit (utan förklaringar) finns på studera.nu

Det är klokt att först prova göra frågorna själv, för att sedan titta på förklaringarna nedan.

Förklaringar till uppgifterna på de kvantitativa delarna

De kvantitativa delarna är de delar som handlar om matematik, dessa behärskar jag och kan ge tydliga förklaringar till! Övriga delar lämnar jag åt någon annan att förklara…

Provpass 2

Förklaringar till XYZ, provpass 2

Förklaringar till KVA, provpass 2

Förklaringar till NOG, provpass 2

Förklaringar till STK, provpass 2

Provpass 5

Förklaringar till XYZ, provpass 5

Förklaringar till KVA, NOG och STK. provpass 5

Förklaringarna är ej inspelade än, men om efterfrågan finns kommer nog dessa snart!


Linjära modeller och exponentiella modeller

Att skriva och förstå en linjär modell, respektive en exponentiell modell över ett verklighetsbaserat exempel

y = rörligt värde · x + startvärde
y = startvärde · förändringsfaktorn x

Del 1: Skriva modeller som matematiska funktioner, mm.

Del 2: Rita graf samt diskussion om modellers lämplighet/rimlighet och om de har några begränsningar.

Detta är en fortsättning från genomgången ovan. Så pausa klippet i början och läs igenom de två olika modellerna.

Uppgift att fundera över...

Rita grafen i GeoGebra till respektive modell och använd programmet till hjälp för att besvara frågorna. Länk till GeoGebra.

Förklaringar till uppgiften efter att du provat själv:

Prova själv att lösa uppgiften först, med hjälp av geogebra.

Genom att låta x anta värdet 2 och sedan beräkna y får vi följande två svar:


Modell A: 85° C.

Modell B: ca 82° C.

Enligt modell A minskar temperaturen med 5° C per timme. (Linjär förändring).

Enligt modell B minskar temperaturen med 7 % per timme. (Exponentiell förändring).

Ingen av modellerna är helt rimlig eftersom båda så småningom visar en temperatur som är lägre än 20° C, vilket inte är möjligt om detta är rumstemperaturen. Det är heller inte troligt att minskningen fortsätter att vara 5° C varje minut, när skillnaden mellan  kaffets temperatur och rumstemperaturen efter några timmar inte längre är lika stor.

Det är mer rimligt med modell B än modell A, eftersom modell B gör att temperaturminskningen per timme blir mindre och mindre.

I denna modell sjunker själva temperaturskillnaden mellan kaffet och rummet med 10 % per timme. Genom att adder 20 i slutet av funktionen så kommer funktionsvärdet aldrig kunna gå under rumstemperaturen 20°, dock oändligt nära.

Skillnaden mellan de två temperaturerna är från början 75°, men det är dessa 75° som minskar för varje timme, inte hela temperaturen. 

Detta bör vara den rimligaste modellen av de tre, eftersom temperaturen håller sig över rumstemperaturen, men samtidigt har en större minskning i början av förloppet än senare.

Tillämpningsuppgift om formler/samband

De sista frågorna lämpar sig väl om du siktar mot de allra högsta betygen!

Uppgift om temperaturskalorna °Celcius och °Farenheit

Två vanliga temperaturskalor är °Celsius och °Farenheit.

Följande formel kan användas för att omvandla en given temperatur mellan de två temperaturskalorna, där y är grader i Farenheit och x är grader i Celicius:

  1. Jonna undrar hur många °F som 20 °C motsvarar. Hjälp henne att lösa uppgiften.
  2. Vid hur många °F fryser vatten till is?
  3. Vid hur många °F är vattnets kokpunkt?
  4. Rita en tydlig graf över sambandet, med hjälp av de tre värden du nyss beräknat.
  5. Vad är funktionens k-värde, respektive m-värde?
  6. Jonna är i USA och har hört att det imorgon ska vara 90 °F ute. Hur många °C är detta? Läs av i grafen…
  7. Beräkna svaret exakt på uppgiften ovan med hjälp av en ekvation.
  8. Det går tydligen att både omvandla från °C till °F, men också tvärtom. Lös ut x från formeln så att du får en formel för att beräkna °C. Dubbelkolla att din omskrivna formel fungerar.
  9. Finns det någon temperatur där de båda temperaturskalorna visar samma värde? Motivera med beräkningar.
  10. Finns det någon temperatur där antal °C är exakt 20 mer än °F?

Videoförklaringar:


Bevisföring

Innan du ser klippen om bevisföring bör du ha koll på hur implikation och ekvivalens fungerar. 

Gå till sidan om implikation och ekvivalens.

Bevisföring

En till exempeluppgift, dock lite slarvigt nedskriven redovisning.


Binära talsystemet och andra talbaser

Vad är olika talbaser och hur omvandlar vi till och från olika talbaser?

Talbaser som är större än 10

Det går också att skriva tal i talbaser som är större än bas 10. Då räcker det inte att använda de tio siffrorna vi har tillgång till utan vi utvidgar vanligtvis med bokstäverna. En vanlig talbas som ofta används är talbas 16, hexadecimala talsystemet. Talen 0 till 20 skrivs i talbas 16 så här:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13.

Du har säkert stött på talbas 16 om du i något samband behövt ange den hexadecimala koden för en färg på datorn, exempelvis FF6633. De två första tecknen står för hur mycket röd färg färgen innehåller; de två mittersta för hur mycket grön färg och de två sista för hur mycket blå färg färgen innehåller. Färgen som skrivs #FF6633 innehåller alltså mest röd färg (FF är det största talet som kan skrivas med två positioner). Denna text är skriven i den färgen.


Det viktigaste i Matematik 3b 2

Checklista, genomgångar och de 111 viktigaste uppgifterna ifrån boken.

Detta är en översikt över det allra viktigaste innehållet i kursen Matematik 3b, samt förslag på uppgifter du bör prioritera om du har hamnat efter i kursen eller behöver repetera inför nationella provet.

Fokus här är uppgifter på E-nivå

Observera: Detta är inte allt kursinnehåll utan endast det som jag bedömer är viktigast att träna på för att lyckas på Nationella provet.

Rationella uttryck

  • Förståelse för vad ett rationellt uttryck är.
  • Förstå för vilka värden ett uttryck är definierat och när det inte är det.

Matematik 5000 3b, 
s. 25

1203

1204ab

1206  

Origo 3b,
s. 30

1301

1302

1306

  • Förkorta och förenkla ett rationellt uttryck, genom att först faktorisera täljare och nämnare.

Detta görs genom att först faktorisera täljare och nämnare (så att det vi vill förkorta sitter fast i övriga faktorer med multiplikation).

Faktorisering:

  1. Bryt ut gemensam faktor om sådan finns.
  2. Använd konjugatregeln eller kvadreringsreglerna baklänges.
  3. För högre betyg: Bryt ut (-1).
  4. För högre betyg: Faktorisera med hjälp av pq-formeln.

Matematik 5000 3b, 
s. 29

1226

1227

1228

1229

1230

 

Origo 3b,
s. 30

1303

1304

1307

1308

 

  • Addera, subtrahera, multiplicera och dividera rationella uttryck med varandra

Matematik 5000 3b,
s. 32, 34

1247

1250

1270

1271

1273

1275

1276

Origo 3b,
s. 33, 37

1311

1312

1313

1318

1319

1322

 

Addition och subtraktion:
Multiplikation och division:
  • Lösa ekvationer där rationella uttryck ingår

Matematik 5000 3b, 
s. 32, 34

1248

1249

1251

1257 a

Origo 3b,
s. 33, 37 

 

1314

1320

1321

 

Ändringskvot: Δy / Δx

  • Förståelse för begreppen ändringskvot (differenskvot), sekant, genomsnittlig förändringshastighet.
  • Kunna beräkna ändringskvoten utifrån en graf, men också i verklighetsbaserade exempel.
  • Kunna tolka innebörden av ändringskvot i verklighetsbaserade exempel.

Matematik 5000 3b, 
s. 75

2104

2105

2106

2107

2108

2109 

2112

2114

Origo 3b,
s. 75

2201

2203

2204

2205

2207

2208

Innebörden av derivata och skrivsättet f'(x)

  • Förståelse för skillnaden mellan sekant och tangent, samt skillnaden mellan genomsnittlig förändringshastighet (ändringskvot) och derivata.
  • Kunna avgöra var på en kurva som tangentens lutning (derivatan) har positivt värde, negativt värde eller värdet 0.
  • Kunna tolka innebörden av derivata i verklighetsbaserade exempel.
  • Förståelse för skrivsättet f'(x).

Matematik 5000 3b, 
s. 81-82

2124

2125

2126

2127

2128

2129

2131

2132

2133

2134

2137

 

Origo 3b,
s. 79-80

2213

2214

2215

2216

2218

2219

s. 88-89

2317

2318

2319

2320

2322

2324

 

Deriveringsregler

  • Kunna derivera polynomfunktioner

Med detta menas funktioner som kan innehålla konstanttermer, x-termer, x2-termer, x3-termer, etc.

Matematik 5000 3b, 
s. 92

2305

2306

2307

2308

2309

2312 (Kom ihåg innebörden)

2313 (Kom ihåg innebörden)

2314

2318

Origo 3b,
s. 105, 107

3101

3102

3103

3104

3105

3106

3108

3114

3115

3116

3117

3118

3119

3120

3121

 

 

Formler:

Klicka för förstoring.
Klicka för förstoring.
  • Kunna derivera exponentialfunktioner med basen e

Med detta menas funktioner med någon potens, där e är potensens bas och x finns i exponenten.

Matematik 5000 3b, 
s. 104

2405

2406

2407

2408

2410

2411

2430 (Kom ihåg innebörden)

Origo 3b,
s. 114-115, 118

3201

3202

3203

3204

3205

3207

3208

3217 a, c

3218 a, c, d

 

Formler:

Fokusera på de två nedersta formlerna.

Klicka för förstoring.

Tillämpningar av derivata

  • Förståelse för hur du kan lösa verklighetsbaserade problem med hjälp av derivata.

Matematik 5000 3b, 
s. 92-93

2312

2313

2324

 

s. 111

2454

2455

2458

2459

2460

 

 

Origo 3b,
s. 122

3230

3231

3232

3234

3235

3237

3238

 

Undersöka grafens utseende och extrempunkter med hjälp av derivata

  • Kunna avläsa på en graf inom vilka intervall som en funktion är växande, avtagande eller har derivatan 0.
  • Förståelse för begreppet extrempunkt, vilket är ett samlingsnamn för minimipunkt, maximipunkt, terrasspunkt.
  • Förståelse för att extrempunkter hittas där derivatan är 0, alltså derivatans nollställe.
  • Kunna beräkna extrempunkternas koordinater, även y-värdet.
  • Kunna använda teckentabell för att visa grafens utseende och avgöra extrempunkternas karaktär.
  • Kunna göra en tydlig skiss av grafen, med extrempunkterna tydligt utsatta.

Matematik 5000 3b, 
s. 136

3108

3109

3110

3111

3112

3113

3114

 

s. 141

3117

3118

3119

3120

3121

 

Origo 3b,
s. 138-139

4101

4102

4103

 

s. 143

4111

4112

4113

 

s. 147

4201

4202

4203

4204

4205

4206

 

Lång genomgång som ger en översikt över nästan allt det viktiga.

Hitta extrempunkterna

Skissa grafen med hjälp av teckentabell (forts. från klippet ovan)

Att ta reda på största och minsta värdet, i ett intervall

Tillämpningar: extremvärdesproblem

  • Förståelse för hur du med hjälp av derivata kan lösa verklighetsbaserade problem där det gäller att hitta största eller minsta värdet för någonting.

Matematik 5000 3b, 
s. 147-148

3202

3203

3205

3206

3207

3210

 

Origo 3b,
s. 157

4243

4244

4245

 

s. 163-164

13

16

 

Primitiva funktioner och integraler

  • Kunna ta fram en, eller samtliga primitiva funktioner till en given polynomfunktion.
  • Förstå skrivsättet F(x) och att det är den primitiva funktionen till f(x).

Med polynomfunktion menas funktioner som kan innehålla konstanttermer, x-termer, x2-termer, x3-termer, etc.

  • Kunna ta fram en, eller samtliga primitiva funktioner till en given exponentialfunktion med talet e som bas..

Matematik 5000 3b, 
s. 171

3303

3304

3305

3306

3307

3308

3309

3310

 

Origo 3b,
s. 172

5101

5102

5103

5108

 

  • Kunna ta fram en specifik primitiv funktion, som uppfylls av ett givet villkor.

Matematik 5000 3b, 
s. 173

3317

3318

3319

 

Origo 3b,
s. 177

5128

5129

5130

 

  • Förstå innebörden av en integral, skrivsättet och att integralen motsvarar en area under en graf.
  • Förstå begreppen undre och övre integrationsgräns, samt integrationsvariabel.
  • Kunna uppskatta värdet av en integral genom att titta på grafen och "räkna rutor" (grovt uppskatta arean).

Matematik 5000 3b, 
s. 176

3402

3403

3404

3406

 

Origo 3b,
s. 182

5201

5202

5203

5204

 

  • Förstå skrivsättet för att beräkna en integral.
  • Kunna beräkna integraler över samma typ av funktioner som du kan göra primitiv funktion för.

Matematik 5000 3b, 
s. 181

3412

3413

3415

3416

3417

 

Origo 3b,
s. 187

5211

5212

5213

5214

5215

 

Klicka för förstoring

Tillämpningar: integraler

  • Förståelse för hur du med hjälp av integraler kan lösa verklighetsbaserade problem.

Matematik 5000 3b, 
s. 184

3421

3422

3423

3424

3426

 

Origo 3b,
s. 195

5318

5319

5320

5321

5324

 

Geometrisk summa

  • Förståelse för hur en geometrisk talföljd och summa är uppbyggd och hur du beräknar en geometrisk summa.
  • Kunna lösa tillämpningsuppgifter som innehåller procentuell tillväxt, med hjälp av geometrisk summa.

Matematik 5000 3b, 
s. 203

4103

4104

4105

4106

4115

4116

4117

4119

 

Origo 3b,
s. 218-219

6201

6202

6204

6205

6208

6209

 


Korrelation, kausalitet och regression

Korrelation och kausalitet

Korrelation: Finns det ett samband mellan de undersökta variablerna? Korrelation kan vara stark, svag eller obefintlig. Den kan dessutom vara positiv eller negativ, se videon.

Kausalitet: Leder förändringen i den ena variabeln till en förändring i den andra variabeln? (Då är det kausalitet, ett orsakssamband). Om det är en tredje faktor utifrån som är den som påverkar, så är det inget kausalt samband, ingen kausalitet.

Regression

Vid en regression eller regressionsanalys förenklas sambandet till en modell eller en funktion. En linjär regression innebär att vi skriver en linjär funktion på formen y = kx + m som så noga som möjligt följer de punkter som lagts ut i koordinatsystemet. 

Ex: Efter en undersökning av något (exempelvis volym och vikt för någonting) skulle vi kunna uttrycka oss så här:
“Sambandet mellan volym och vikt visar stark korrelation och regressionen visar att det följer sambandet y = 2x + 3, där x = volym och y = vikt.”

Video kommer inom kort.


Sammanfattning: Linjära funktioner, samt ekvationssystem

Genomgången behandlar följande:
- Linjers lutning (riktningskoefficient, k-värde)
- Parallella och vinkelräta linjer
- k-form: y = kx + m. Hur ritar vi grafen och hur kan vi räkna ut m-värdet algebraiskt?
- Lösning av ekvationssystem med substitutionsmetoden och additionsmetoden, samt kommentar om grafisk lösning.


Sammanfattning: Potenser och logaritmer

Genomgången behandlar främst tiologaritmer, exponentialekvationer och potensekvationer, samt tillämpningar.

Formelblad Matematik 3

Öppna formelbladet som pdf:

Matematik 1

Formelbladet för Matematik 1a, 1b och 1c som får användas på bland annat nationella provet.

Matematik 2

Formelbladet för Matematik 2a, 2b och 2c som får användas på bland annat nationella provet.

Matematik 3

Formelbladet för Matematik 3b och 3c som får användas på bland annat nationella provet.

Formler för Matematik 3

OBS: Formelbladet innehåller fler än en sida!


Formelblad Matematik 2

Öppna formelbladet som pdf:

Matematik 1

Formelbladet för Matematik 1a, 1b och 1c som får användas på bland annat nationella provet.

Matematik 2

Formelbladet för Matematik 2a, 2b och 2c som får användas på bland annat nationella provet.

Matematik 3

Formelbladet för Matematik 3b och 3c som får användas på bland annat nationella provet.

Formler för Matematik 2

OBS: Formelbladet innehåller fler än en sida!


Formelblad Matematik 1

Öppna formelbladet som pdf:

Matematik 1

Formelbladet för Matematik 1a, 1b och 1c som får användas på bland annat nationella provet.

Matematik 2

Formelbladet för Matematik 2a, 2b och 2c som får användas på bland annat nationella provet.

Matematik 3

Formelbladet för Matematik 3b och 3c som får användas på bland annat nationella provet.

Formler för Matematik 1

OBS: Formelbladet innehåller fler än en sida!


Likformighet (Matematik 1a)

Likformighet

Se också genomgångarna om likformighet för Matematik 2, samma innehåll fast något svårare exempel.


Beräkna andel eller förhållande (area och volym)

Från formelbladet (som nästan alltid är tillåtet på prov)

Klicka för förstoring.

Klicka för förstoring.

Andel och förhållande

Ofta kommer du stöta på uppgifter i geometriavsnittet som kräver förståelse för begreppen andel och förhållande. Här kommer flera genomgångar om detta. Många av uppgifterna ärextra bra för dig som vill visa kunskaper för högre betyg.

Hur räknar vi andel och förhållande? Skillnad på E-nivå och C-nivå.

Exempeluppgift

... med videoförklaring både på E-nivå och C-nivå.

Prova själv först och klicka sedan på bilden för att se förklaringen!

Svårare uppgift! Klicka på bilden för videoförklaring!

Beräkna andelen, ytterligare exempel

Beräkna andel färgad yta.

Beräkna andelen, ett till tydligt exempel

Hur stor andel är färgad? Beräkningar både med påhittade värden och med variabler.

Beräkna andelen: Skillnad mellan en lösning på C-nivå och på A-nivå. Svår uppgift från Origo-boken.

Hur stor andel är färgad? Beräkningar både med påhittade värden och med variabler.

Volym: Andel och förhållande

Uppgifterna är på C/A-nivå.

Uppgift 1: Beräkna andelen (som slipas bort)

C/A-nivå: Bra uppgift att prova själv! Sedan kan du kolla om du tänkt lika!

Uppgift 2: Beräkna andelen (som slipas bort)

En till nästan likadan uppgift som du kan prova själv på, så att du kan testa om du verkligen behärskar detta! C/A-nivå.

 

Uppgift 3: Beräkna förhållandet

A-uppgift om volym. Prova om du klarar den själv!

Uppgiften kräver att du känner till begreppet förhållande, se genomgång längre ned på denna sida.

 


Enhetscirkeln

Från formelbladet:

Genomgång om enhetscirkeln och hur du kan använda denna för att förstå sinus, cosinus och tangens


Exponentialfunktioner och potensfunktioner

Vad finns på formelbladet?

Alltså funktioner där x finns i potensens bas

Alltså funktioner där x finns i potensens exponent

Potensekvationer och potensfunktioner

... samt repetition av exponentialekvationer och exponentialfunktioner.

Exponentialfunktioner och exponentialekvationer gås igenom längre ner på denna sida!

Exponentialfunktioner i GeoGebra, rita upp och läsa av grafen.

Hur kan du lösa exponentialekvationer i GeoGebra?

Exponentialfunktioner i GeoGebra. Introduktion och lite genomgång om funktioner. Hur löser vi exponentialekvationer, alltså där x finns i exponenten?

Lär dig GeoGebra

Det viktigaste att kunna i GeoGebra


GeoGebra

Det viktigaste att kunna i GeoGebra om du får använda det på exempelvis nationella provet

Lös ekvationer snabbt i CAS-läget

Lösning av en uppgift i Geogebra. Uppgiften handlar om exponentiell ökning.

  • Fler uppgifter om exponentiell förändring som löses i geoGebra

Matematik 3: Derivera i GeoGebra

Genomgång om både graf-läget och CAS-läget.


GeoGebra


Trigonometri

Introduktion + tangens

Sinus och cosinus

Sinus och cosinus fungerar på motsvarande sätt som tangens (se ovan). 

sin v = motstående katethypotenusan

cos v = närliggande katethypotenusan

tan v = motstående katetnärliggande katet

På samma sätt som med tangens kan du använda de inversa funktionerna sin-1 respektive cos-1 för att beräkna själva vinken. 

I den triangel där motstående katet har längden 4 och hypotenusan har längden 5 beräknas alltså vinkeln v genom följande:

v = sin-1(4/5) ≈ 53°.

Observera att du måste ha räknaren inställd på grader om du vill att svaret ska visas i grader. Detta ändrar du i räknarens inställningar.

 


Andragradsfunktioner, begrepp och introduktion

Andragradsfunktioner: förståelse och begrepp

Introducerande genomgång för dig som inte har arbetat med andragradsfunktioner tidigare

Hur påverkar funktionens olika termer grafens utseende?

Genomgång till bilden:


Sammanfattning av derivata

Sammanfattning av derivata

Denna genomgång går igenom det viktigaste om derivata, men långt ifrån allt!


Lån, ränta och amortering

Lån, ränta och amortering

När du tar ett lån från exempelvis en bank finns det flera olika begrepp som du måste känna till:

 

Viktigast att kunna:

Amortering: Amortering betyder avbetalning på lånet. Lånets storlek minskar alltså när du amorterar. 

Ränta: Ränta är en extrakostnad som du ska betala till banken för att banken är “snäll” och lånar ut pengar till dig. Räntan gör inte att lånets storlek minskar. 

  • Räntesats: Anges i % och är alltid på ett år, om inget annat anges. Detta kallas för årsränta. Om räntesatsen är 5 % så ska du alltså på ett år betala 5 % av lånets storlek i ränta till banken. 
  • Räntekostnad: Räntekostnaden innebär hur många kronor du ska betala i ränta på exempelvis en månad, ett kvartal eller ett år. 

Om du skulle ta ett lån där du inte amorterar, utan bara betalar ränta; så skulle lånet aldrig minska i storlek. Du skulle fortsätta vara skyldig lika mycket hela tiden. Räntan gör ju inte att lånets storlek minskar. Ett lån utan amortering kallas för amorteringsfritt lån. Lån kan ofta vara amorteringsfria en period i början, exempelvis första året. 

 

Lite fler bra saker att veta:

Uppläggningsavgift: En administrativ avgift som endast  betalas en gång, när lånet läggs upp (startas). Alla lån har inte en uppläggningsavgift.

Aviavgift: Vissa lån har en aviagvift som tillkommer varje gång man gör en betalning på lånet. 

Amorteringskrav: Vissa lån har ett amorteringskrav, exempelvis många bostadslån. Det kan vara att man minst måste amortera 2 % per år, men att man får amortera mer om man vill. 

Genomgång, ett bra exempel


A-uppgifter i Matematik 2

Denna sida är till dig som vill träna på att lösa uppgifter som ger A-poäng. Alla uppgifter här har videoförklaringar.

  • Uppgifter på A-nivå om andragradsfunktioner
  • Uppgifter på A-nivå om linjära funktioner och ekvationssystem
  • Uppgifter på A-nivå om potenser och logaritmer (exponentialfunktioner)

Derivatans definition

Från formelbladet för Matematik 3.

Hur fungerar derivatans definition?

Tydlig genomgång om "tänket" kring derivata och derivatans definition.

Rekommenderas!

Tydlig genomgång om hur du gör beräkningar med derivatans definition

Rekommenderas!

Hur fungerar derivatans definition? Fler förklaringar och exempel.

Kortare repetitionsgenomgång om derivatans definition

Svårare exempeluppgift


Derivata: problemlösningsuppgifter

Problemlösningsuppgifter: från E-nivå till A-nivå


Mot högsta betyg i Matematik 2

Videolösningar till uppgifter på A-nivå i Matematik 2

Prova lösa uppgifterna själv först! Titta sedan på genomgångarna!

- Andragradsfunktioner

Vissa av uppgifterna kräver att du har kunskaper även i ekvationssystem. 

Andragradsfunktioner: Uppgift 1.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.48.42

Andragradsfunktioner: Uppgift 2.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.49.14

Andragradsfunktioner: Uppgift 3.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.49.35

Andragradsfunktioner: Uppgift 4.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.53.54

Andragradsfunktioner: Uppgift 5.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.49.55

Andragradsfunktioner: Uppgift 6.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.50.14

Andragradsfunktioner: Uppgift 7.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.50.33

Andragradsfunktioner: Uppgift 8.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.44.35

Andragradsfunktioner: Uppgift 9.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.47.15

Andragradsfunktioner: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

a1

Andragradsfunktioner: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

a2

- Linjära funktioner och ekvationssystem

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift 1.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 16.59.26

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift 2.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 16.59.45

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift 3.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 16.59.59

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift 4.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.00.10

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift 5.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.00.37

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift 6.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.27.03

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

a3

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!
Klippet innehåller flera uppgifter, men kommer att starta på rätt ställe.

b9

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!
Klippet innehåller flera uppgifter, men kommer att starta på rätt ställe.

b16

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!
Klippet innehåller flera uppgifter, men kommer att starta på rätt ställe.

b23

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

a4
a5

- Potenser och potensregler

Potenser och potensregler: Uppgift 1-3.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.14.28

Potenser och potensregler: Uppgift 4.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.14.46

Potenser och potensregler: Uppgift 5.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.15.37

Potenser och potensregler: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.15.02

Potenser och potensregler: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

a6

Potenser och potensregler: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!
Klippet innehåller flera uppgifter, men kommer att starta på rätt ställe.

b10

- Potensekvationer, exponentialekvationer och logaritmer

Exponentialfunktioner och logaritmer: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!
Klippet innehåller flera uppgifter, men kommer att starta på rätt ställe.

b14

- Statistik

Statistik: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

a7

Statistik: Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!
Klippet innehåller flera uppgifter, men kommer att starta på rätt ställe.

I videoförklaringen strulade tekniken något. Jag hade gjort 11 små figurer som jag flyttade omkring på iPaden under genomgången, men dessa syns tydligen inte på filmen. Genomgången kan därför verka lite konstig. 

b25

- Geometri

Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!
Klippet innehåller flera uppgifter, men kommer att starta på rätt ställe.

b24

- Blandat

Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

a8

Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!
Klippet innehåller flera uppgifter, men kommer att starta på rätt ställe.

b15

Matematik 3c: Tidigare nationella prov

Matematik 3c:
Nationellt prov HT 2012

Prov och bedömnings-
anvisningar (facit)

Bra saker att kunna i Geogebra

Får du använda Geogebra på D-delen?

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Börje Sundvall

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Länk till lösningar från Johan Våglund

Dokumenten på denna sida är hämtade från http://www.edusci.umu.se/np/np-2-4/tidigare-givna-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Matematik 3b: Tidigare nationella prov

Matematik 3b:
Nationellt prov VT 2015

Prov och bedömnings-
anvisningar (facit)

Bra saker att kunna i Geogebra

Får du använda Geogebra på D-delen?

Videolösningar

Länk till lösningar från David Johansson

Länk till lösningar från Jennifer Henriksson

Länk till lösningar från matteboken.se

Dokumenten på denna sida är hämtade från http://www.edusci.umu.se/np/np-2-4/tidigare-givna-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Matematik 2a: Tidigare nationella prov

Se livesändningen från i fredags!

Fyra timmar livestream inför nationella provet i Matematik 2. Titta du också!

Matematik 2a:
Nationellt prov VT 2015

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Keith Delahorne

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Matematik 2a:
Nationellt prov VT 2012

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från MattePer

Länk till lösningar från Matematikdavid

Dokumenten på denna sida är hämtade från http://www.edusci.umu.se/np/np-2-4/tidigare-givna-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Matematik 2c: Tidigare nationella prov

Se livesändningen från i fredags!

Fyra timmar livestream inför nationella provet i Matematik 2. Titta du också!

Matematik 2c:
Nationellt prov VT 2015

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Börje Sundvall

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Matematik 2c:
Nationellt prov HT 2012

Nyligen frisläppt prov!

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Del B:

Denna del är ej infilmad än! Men de flesta uppgifter är desamma som de som finns i klippet nedan (från Matematik 2b).

Del C:

Denna del är ej infilmad än! Men de flesta uppgifter är desamma som de som finns i klippet nedan (från Matematik 2b).

Del D (upg. 17-21):

Del D (upg. 22-25):

Matematik 2c:
Nationellt prov VT 2012

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Börje Sundvall

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Dokumenten på denna sida är hämtade från http://www.edusci.umu.se/np/np-2-4/tidigare-givna-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Matematik 1c: Tidigare nationella prov

Glöm inte att det finns genomgångar till kursen här på vidma. 

Länk till genomgångarna för Matematik 1.

Matematik 1c:
Nationellt prov HT 2016

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Del B:

Del C:

Del D:

Matematik 1c:
Nationellt prov VT 2012

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Börje Sundvall

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Dokumenten på denna sida är hämtade från https://www.su.se/primgruppen/matematik/kurs-1/tidigare-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Matematik 1b: Tidigare nationella prov

Glöm inte att det finns genomgångar till kursen här på vidma. 

Länk till genomgångarna för Matematik 1.

Matematik 1b:
Nationellt prov HT 2016

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Del B:

Del C:

Del D:

Matematik 1b:
Nationellt prov VT 2012

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Robin Persson

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Dokumenten på denna sida är hämtade från https://www.su.se/primgruppen/matematik/kurs-1/tidigare-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Matematik 2b: Tidigare nationella prov

Se livesändningen från i fredags!

Fyra timmar livestream inför nationella provet i Matematik 2. Titta du också!

Matematik 2b:
Nationellt prov VT 2015

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Robin Persson

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Länk till lösningar från Mattias Djurvall

Sammanfattning inför nationella provet i Matematik 2

Detta är det viktigaste på E-nivå.

Del 1:

– Konjugatregeln och kvadreringsreglerna

– Linjära funktioner, y=kx+m

Del 2:

– Lösa andragradsekvationer

– Reella lösningar och komplexa lösningar

Del 3-4 :

Tyvärr kommer jag inte hinna spela in dessa delar under vårterminen.

Matematik 2b:
Nationellt prov HT 2012

Nyligen frisläppt prov!

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Del B:

Del C:

Del D (upg. 17-21):

Del D (upg. 22-25):

Matematik 2b:
Nationellt prov VT 2012

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Länk till lösningar från Robin Persson

Dokumenten på denna sida är hämtade från http://www.edusci.umu.se/np/np-2-4/tidigare-givna-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Ge mig k-värdet


Beräkna k-värde och m-värde


Matematik 1a: Tidigare nationella prov

Glöm inte att det finns genomgångar till kursen här på vidma. 

Länk till genomgångarna för Matematik 1.

Matematik 1a:
Nationellt prov HT 2016

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Del B:

Del C:

Del D:

Matematik 1a:
Nationellt prov VT 2012

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Länk till lösningar från Keith Delahorne

Dokumenten på denna sida är hämtade från https://www.su.se/primgruppen/matematik/kurs-1/tidigare-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Räta linjen – geogebra


Andragradsfunktioner – appen!


Procent: förändringsfaktor

Förändringsfaktor

Hur gör man och varför är det bra?

Procentuell ökning och minskning flera gånger efter varandra

Hur du räknar ut förändringen (procentuella) om du vet gamla och nya värdet

Förändringsfaktor och ekvation som hjälp vid problemlösning

Rekommenderat klipp!

Flera olika uppgifter där förändringsfaktor är bra att använda

Från E-nivå till A-nivå.

Typuppgifter om procentuell ökning eller minskning. Kan du dessa?

VAD ÄR NYA VÄRDET? Det gamla värdet var 400 kr och minskningen är 12 procent.​

VAD ÄR DET NYA VÄRDET? Värdet har ökat med 15 procent, vilket motsvarar 60 kr.​

HUR MÅNGA PROCENT ÄNDRADES VÄRDET? Gamla värdet var 400 kr och nya värdet är 150 kr.​

HUR MÅNGA PROCENT ÄNDRADES VÄRDET? Gamla värdet var 600 kr och ökningen var 50 kr.


Geogebra mm

Detta är enbart länkar…

Förändringsfaktor geogebra

Tom

 

 


Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering - en metod för att kunna lösa alla andragradsekvationer steg för steg, utan att använda pq-formeln.

I många skolor behöver du inte kunna detta, utan lösningsformeln (pq-formeln) räcker väl. Hör efter med din lärare! Dock är detta en snyggare metod än lösningsformeln, så vill du briljera dig igenom kursen är det här snyggt att lära sig!

En liknande genomgång.

Härledning av pq-formeln (fortsättning på genomgången ovan om kvadratkomplettering).


Geometrisk talföljd och geometrisk summa

Geometrisk talföljd och geometrisk summa


Linjär optimering

Linjär optimering:

Tydlig uppgift och strukturerad arbetsgång.

Exempelupgift:

Tre huvudsteg i linjär optimering:

  1. Identifiera vilka villkor som måste uppfyllas.
    Skriv dessa villkor som ett system av olikheter.

  2. Rita upp området och ta reda på hörnkordinaterna.
    Enklast gör du detta i GeoGebra.

  3. Undersök vilken kombination som är mest optimal.
    Detta görs med en målfunktion som i den här uppgiften beskriver totala vinsten.

Tydlig videoförklaring om linjär optimering (uppgiften ovan)

Ytterligare uppgift med utförlig förklaring, denna gång med lösning utan Geogebra.


Olikheter och system av olikheter

Repetition

Matematik 1:
Likhetstecken, olikhetstecken och att lösa olikheter
= < ≤ > ≥

Olikheter och system av olikheter

Liknande genomgång:


Tillämpningar av primitiva funktioner och integraler

Tillämpningar av integraler: tydlig genomgång

En exempeluppgift

PDF: Tio uppgifter med videolösningar

Klicka på bilden för att öppna pdf-dokumentet.

Dokumentet är indelat i tre delar, beroende på vad uppgifterna handlar om:

  • Del 1: Sträcka, hastighet, acceleration
  • Del 2: Antal (exempelvis folkmängd)
  • Del 3: Kostnad, marginalkostnad

Lösningar till del 1

Lösningar till del 2

Lösningar till del 3


Arean mellan två grafer

Att beräkna arean mellan två grafer med hjälp av integral

När du förstått principen kan du om du vill gå över till att innanför integraltecknet direkt skriva funktionsuttrycken f(x) – g(x), alltså  (övre funktionen – undre funktionen) dx, och göra en förenkling innan du skapar en primitiv funktion och beräknar. Det fungerar lika bra och blir lite mindre att skriva!


Integraler | Arean under en graf

Integraler, del 1: Vad är en integral och hur uppskattar man värdet av en integral?

Integraler, del 2: Hur beräknar man en integral?

Integraler: så här skriver man!

Översumma och undersumma

Översumma, undersumma, integral och hur vi ställer upp och beräknar en integral

Geogebradokumentet som används i klippet återfinns i gröna rutan längre ned på sidan.

Att undersöka arean under en graf med översumma och undersumma

Klicka på bilden och prova dig fram!

Integraler: Uppgifter

En exempeluppgift

Uppgifter från boken

Origo 3b.

Uppgifter: 5202, 5204, 5211ab, 5212, 5213, 5214a, 5215.


Primitiva funktioner med villkor

Primitiva funktioner med villkor

Ett beräkningsexempel och en textuppgift med sträcka, tid och hastighet.


Primitiva funktioner

Primitiva funktioner

Tydlig introducerande genomgång!
Vad är en primitiv funktion och hur hittar vi en sådan?

I genomgången behandlas polynomfunktioner.

En till liknande genomgång över samma innehåll.

Hitta primitiv funktion till svårare potensfunktioner

- Funktioner med kvadratrot eller annan rot
- Funktioner med potens i nämnaren

Snabbgenomgång av fyra exempel.

Primitiva funktioner med villkor

Tillämpningsuppgift om hastighet och sträcka.

Klippet ska starta vid minut 10.


Tillämpningar: Extremvärdesproblem (textuppgifter)

Tillämpningar

  1. Beräkna: Var finns största eller minsta värdet? (Vad ska x vara?)
  2. Verifiera: Är det verkligen det största respektive minsta värdet? (Andraderivata!)
  3.  Beräkna värdet. (Funktionsvärdet)

Två exempeluppgifter, en enklare och en svårare.

I dessa två exempel verifierar vi inte med andraderivata att maxpunkten verkligen är en maxpunkt. (Eleverna hade inte kommit till det avsnittet än).

A-uppgift om extremvärde


Funktionens graf och derivatan

Funktionens graf och derivatan

- Hur derivatan varierar på olika ställen på funktionens graf.
- Derivatans nollställen och funktionens extrempunkter.
- Hur derivatans graf kan ritas.

Att få förståelse för hur funktionens graf ser ut, utifrån derivatans graf

Hur vi utifrån derivatans graf kan ta reda på ungefär hur funktionens graf ska se ut, och var den har sina extremvärden.

Rekommenderas starkt! Kan ge mycket bra förståelse för något som är ganska knepigt i början.

Undersök derivatans graf själv nedan!


Att undersöka en funktions graf med hjälp av derivata

Introduktion: Viktiga begrepp, samt hur vi kan skissa grafen med hjälp av derivata

Introducerande genomgång om både viktiga begrepp, men också hur du beräknar startvärde, nollställen och extrempunkter till en funktion.

Begrepp i genomgången:

  • Startvärde (skärning med y-axeln)
  • Nollställen (skärning med x-axeln)
  • Extremvärden:
    • Lokal minimipunkt (min-punkt)
    • Lokal maximipunkt (max-punkt)
    • Terasspunkt
  • Strängt växande
  • Strängt avtagande

Exempeluppgift på att skissa en graf till en funktion.

Lång genomgång, men bra. Se till att ha fokus! Första delen av genomgången handlar om begreppen!

Rekommendation: Fyra uppdelade klipp över de viktigaste delarna i det här området:

Del 1: Beräkna startvärde (repetition!)

Del 2: Beräkna nollställen (repetition!)

Del 3: Hitta extrempunkterna (viktigt!)

Del 4: Skissa grafen med hjälp av teckentabell (viktigt!)

Extremvärden och derivatan

Att rita grafen med hjälp av teckentabell

Att hitta och undersöka extremvärden till en funktion genom att använda derivata och teckentabell.

En till liknande genomgång som tar upp följande:

  • Beräkna startvärde
  • Beräkna nollställen
  • Beräkna var extrempunkterna finns (x-värde och y-värde)
  • Rita teckentabell
  • Rita graf

Att ta reda på en funktions största och minsta värde i ett intervall

Andraderivatan och extrempunkters karaktär

Vad är andraderivata och hur kan vi använda den för att bestämma en extrempunkts karaktär?

… det vill säga om det är en minimipunkt, maximipunkt eller terasspunkt.

Rekommenderas!

Mot högsta betyg:
Att undersöka grafens utseende för potensfunktioner, där x är i nämnaren.

Denna genomgång är bra för dig som siktar mot de högsta betygen!

Stort sammanfattande klipp på allt det viktiga

Att undersöka en graf: ta reda på ALLT" och sedan skissa grafen.

  • Startvärde
  • Nollställen
  • Extrempunkters läge
  • Extrempunkters värde (extremvärden)
  • Extrempunkters karaktär (min, max eller terass?)
  • Intervall där funktionen är strängt växande eller strängt avtagande
  • Definierad för alla x?

Tre exempel från E-nivå till C-nivå.


Derivata: tillämpningar

Textuppgifter: Vad är det vi räknar ut när vi deriverar?

Genomgång samt lösning av flera textuppgifter från boken.

Hur använder vi derivata vid problemlösningsuppgifter och vad är det vi har räknat ut då?

(Vid beräkningar i detta klipp använder vi derivatans definition.)

Fler tillämpningsuppgifter där du måste derivera

Vid beräkningar i dessa uppgifter används deriveringsreglerna.


Deriveringsreglerna

Deriveringsregler

Polynomfunktioner

Funktioner där x finns i nämnaren

Funktioner där x finns i ett rotuttryck

Exponentialfunktioner (när x finns som exponent)

Sammanfattning av deriveringsreglerna

Tydlig sammanfattning av alla reglerna samt många exempeluppgifter med lösningar:

Hoppa direkt till VIDEOLÖSNINGARNA för exempeluppgifterna:


Prova gör exempeluppgifterna nedan för att se om du behärskar detta. Videolösningar finns i klippet ovan!

Genomgångar om deriveringsreglerna

Deriveringsregler för potens- och polynomfunktioner

Kontrollera här om du behärskar detta (klicka på knappen “Ny funktion” för att starta): 

Att derivera funktioner där x är i nämnaren, samt roten ur x.

Exponentialfunktioner, talet e och den naturliga logaritmen ln

Faktaruta

När du deriverar f(x) = ex så blir derivatan precis likadan, nämligen f'(x) = ex

Talet e är ungefär 2,718 och just det talet har egenskapen ovan.

Detta innebär att i precis varje punkt på grafen till f(x) = eså är y-värdet f(x) detsamma som lutningen f'(x). Det är bara talet e som har denna egenskap.

Derivatan av ex. Vad är talet e?

Rekommenderas! Speciellt om du vill förstå vad talet e innebär.

Här nedan kan du prova själv och se om du kan hitta talet e. Gör som i klippet ovan!

För dig som vill veta mer:

Varför ser definitionen av e ut som den gör?

Talet e dyker upp vid många tillfällen i matematiken. Här är ett exempel, som också berättar varför definitionen av e ser ut som den gör:

Det är inte så viktigt att förstå denna definition. (Tycker åtminstone jag…)

Derivatan av ekx och akx

Faktaruta

När du deriverar f(x) = ekx så blir derivatan  f'(x) = k · ekx

Exempel: När du deriverar f(x) = e2x så blir derivatan  f'(x) = 2e2x

Du ska alltså kopiera ner koefficienten som står framför x. Ingenting ändras i exponenten.

Faktaruta

När du deriverar f(x) = akx så blir derivatan  f'(x) = k · akx · ln(a)

Exempel: När du deriverar f(x) = 42x så blir derivatan  f'(x) = 2 · 42x · ln(4). 

Du ska alltså kopiera ner koefficienten som står framför x. Dessutom ska du multiplicera med ln för exponentens bas.

- Genomgång om ln (den narutliga logaritmen)
- Repetition om lg (tiologaritmen)
- Lösning av exponentialekvationer
- Deriveringsregler för exponentialfunktioner


Tangenter | Förståelse för vad derivata är

Vad beskriver lutningen?

Tillämpningsuppgifter: Vad beskriver lutningen (derivatan) och vad är det vi räknar ut? Vilken enhet får svaret?

Tangentens lutning = derivata. INTRODUKTION!

Vad är derivata? TYDLIG INTRODUKTION.

Förståelse för tangentens lutning och varför vi väljer två punkter

Detta klipp är till för att du ska få förståelse för att tangentens lutning kan uppskattas om man beräknar lutningen mellan två punkter som är ytterst nära varandra.

Hur du kan beräkna en tangents lutning i Geogebra genom att skapa två punkter som ligger oerhört nära varandra


Sekanter och ändringskvot

Sekantens lutning = ändringskvot

– Skillnad mellan sekant och tangent

– Hur du beräknar sekantens lutning och vad den innebär.

– Repetition av formeln k= Δy / Δx (kallas här ändringskvot)

– Vilken enhet har sekantens lutning?


Polynomfunktioner och polynomekvationer (av högre grad)

Grafen till en polynomfunktion, hur ser den ut?

Antal reella nollställen:
– Linjär funktion:
0 eller 1 nollställe.
– Andragradsfunktion: 0, 1 eller 2 nollställen.
– Tredjegradsfunktion: 1, 2 eller 3 nollställen.
– Fjärdegradsfunktion: 0, 1, 2, 3 eller 4 nollställen.

Två genomgångar över detta: (ungefär samma innehåll i båda).

Faktorform och nollställen

Nollställena syns direkt om polynomet/funktionen är faktoriserat!

Hur vi skriver en funktion på faktorform (viktigt!)

Först lite kort repetition om utvecklad form och faktorform. Sedan en tydlig metod för hur vi skriver en funktion eller ett polynom i faktorform. Rekommenderas!