Jonas Vikström


Beräkna andel eller förhållande (area och volym)

Från formelbladet (som nästan alltid är tillåtet på prov)

Klicka för förstoring.

Klicka för förstoring.

Andel och förhållande

Ofta kommer du stöta på uppgifter i geometriavsnittet som kräver förståelse för begreppen andel och förhållande. Här kommer flera genomgångar om detta. Många av uppgifterna ärextra bra för dig som vill visa kunskaper för högre betyg.

Hur räknar vi andel och förhållande? Skillnad på E-nivå och C-nivå.

Exempeluppgift

... med videoförklaring både på E-nivå och C-nivå.

Prova själv först och klicka sedan på bilden för att se förklaringen!

Beräkna andelen, ytterligare exempel

Beräkna andel färgad yta.

Beräkna andelen, ett till tydligt exempel

Hur stor andel är färgad? Beräkningar både med påhittade värden och med variabler.

Beräkna andelen: Skillnad mellan en lösning på C-nivå och på A-nivå. Svår uppgift från Origo-boken.

Hur stor andel är färgad? Beräkningar både med påhittade värden och med variabler.

Volym: Andel och förhållande

Uppgifterna är på C/A-nivå.

Uppgift 1: Beräkna andelen (som slipas bort)

C/A-nivå: Bra uppgift att prova själv! Sedan kan du kolla om du tänkt lika!

Uppgift 2: Beräkna andelen (som slipas bort)

En till nästan likadan uppgift som du kan prova själv på, så att du kan testa om du verkligen behärskar detta! C/A-nivå.

 

Uppgift 3: Beräkna förhållandet

A-uppgift om volym. Prova om du klarar den själv!

Uppgiften kräver att du känner till begreppet förhållande, se genomgång längre ned på denna sida.

 


Enhetscirkeln

Genomgång om enhetscirkeln och hur du kan använda denna för att förstå sinus, cosinus och tangens


Exponentialfunktioner och potensfunktioner

Vad finns på formelbladet?

Alltså funktioner där x finns i potensens bas

Alltså funktioner där x finns i potensens exponent

Potensekvationer och potensfunktioner

... samt repetition av exponentialekvationer och exponentialfunktioner.

Exponentialfunktioner och exponentialekvationer gås igenom längre ner på denna sida!

Exponentialfunktioner i GeoGebra, rita upp och läsa av grafen.

Hur kan du lösa exponentialekvationer i GeoGebra?

Exponentialfunktioner i GeoGebra. Introduktion och lite genomgång om funktioner. Hur löser vi exponentialekvationer, alltså där x finns i exponenten?

Lär dig GeoGebra

Det viktigaste att kunna i GeoGebra


GeoGebra

Det viktigaste att kunna i GeoGebra om du får använda det på exempelvis nationella provet

Lösning av en uppgift i Geogebra. Uppgiften handlar om exponentiell ökning.

  • Fler uppgifter om exponentiell förändring som löses i geoGebra

Matematik 3: Derivera i GeoGebra

Genomgång om både graf-läget och CAS-läget.


GeoGebra


Trigonometri

Introduktion + tangens

Sinus och cosinus

Sinus och cosinus fungerar på motsvarande sätt som tangens (se ovan). 

sin v = motstående katet / hypotenusan

cos v = närliggande katet / hypotenusan

tan v = motstående katet / närliggande katet

På samma sätt som med tangens kan du använda de inversa funktionerna sin-1 respektive cos-1 för att beräkna själva vinken. 

I den triangel där motstående katet har längden 4 och hypotenusan har längden 5 beräknas alltså vinkeln v genom följande:

v = sin-1(4/5) ≈ 53°.

Observera att du måste ha räknaren inställd på grader om du vill att svaret ska visas i grader. Detta ändrar du i räknarens inställningar.

 


Andragradsfunktioner, begrepp och introduktion

Andragradsfunktioner: förståelse och begrepp

Introducerande genomgång för dig som inte har arbetat med andragradsfunktioner tidigare

Genomgång till bilden:


Sammanfattning av derivata

Sammanfattning av derivata

Denna genomgång går igenom det viktigaste om derivata, men långt ifrån allt!


Lån, ränta och amortering

Lån, ränta och amortering

När du tar ett lån från exempelvis en bank finns det flera olika begrepp som du måste känna till:

 

Viktigast att kunna:

Amortering: Amortering betyder avbetalning på lånet. Lånets storlek minskar alltså när du amorterar. 

Ränta: Ränta är en extrakostnad som du ska betala till banken för att banken är “snäll” och lånar ut pengar till dig. Räntan gör inte att lånets storlek minskar. 

  • Räntesats: Anges i % och är alltid på ett år, om inget annat anges. Detta kallas för årsränta. Om räntesatsen är 5 % så ska du alltså på ett år betala 5 % av lånets storlek i ränta till banken. 
  • Räntekostnad: Räntekostnaden innebär hur många kronor du ska betala i ränta på exempelvis en månad, ett kvartal eller ett år. 

Om du skulle ta ett lån där du inte amorterar, utan bara betalar ränta; så skulle lånet aldrig minska i storlek. Du skulle fortsätta vara skyldig lika mycket hela tiden. Räntan gör ju inte att lånets storlek minskar. Ett lån utan amortering kallas för amorteringsfritt lån. Lån kan ofta vara amorteringsfria en period i början, exempelvis första året. 

 

Lite fler bra saker att veta:

Uppläggningsavgift: En administrativ avgift som endast  betalas en gång, när lånet läggs upp (startas). Alla lån har inte en uppläggningsavgift.

Aviavgift: Vissa lån har en aviagvift som tillkommer varje gång man gör en betalning på lånet. 

Amorteringskrav: Vissa lån har ett amorteringskrav, exempelvis många bostadslån. Det kan vara att man minst måste amortera 2 % per år, men att man får amortera mer om man vill. 

Genomgång, ett bra exempel


A-uppgifter i Matematik 2

Denna sida är till dig som vill träna på att lösa uppgifter som ger A-poäng. Alla uppgifter här har videoförklaringar.

  • Uppgifter på A-nivå om andragradsfunktioner
  • Uppgifter på A-nivå om linjära funktioner och ekvationssystem
  • Uppgifter på A-nivå om potenser och logaritmer (exponentialfunktioner)

Derivatans definition

Hur fungerar derivatans definition?

Tydlig genomgång om "tänket" kring derivata och derivatans definition.

Rekommenderas!

Tydlig genomgång om hur du gör beräkningar med derivatans definition

Rekommenderas!

Hur fungerar derivatans definition? Fler förklaringar och exempel.

Kortare repetitionsgenomgång om derivatans definition


Derivata: problemlösningsuppgifter

Problemlösningsuppgifter: från E-nivå till A-nivå


Mot högsta betyg i Matematik 2: Andragradsfunktioner

Videolösningar till uppgifter på A-nivå i Matematik 2

Prova lösa uppgifterna själv först! Titta sedan på genomgångarna!

- Andragradsfunktioner

Vissa av uppgifterna kräver att du har kunskaper även i ekvationssystem. 

Andragradsfunktioner: Uppgift 1.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.48.42

Andragradsfunktioner: Uppgift 2.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.49.14

Andragradsfunktioner: Uppgift 3.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.49.35

Andragradsfunktioner: Uppgift 4.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.53.54

Andragradsfunktioner: Uppgift 5.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.49.55

Andragradsfunktioner: Uppgift 6.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.50.14

Andragradsfunktioner: Uppgift 7.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.50.33

Andragradsfunktioner: Uppgift 8.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.44.35

Andragradsfunktioner: Uppgift 9.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 14.47.15

- Linjära funktioner och ekvationssystem

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift 1.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 16.59.26

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift 2.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 16.59.45

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift 3.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 16.59.59

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift 4.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.00.10

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift 5.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.00.37

Linjära funktioner och ekvationssystem: Uppgift 6.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.27.03

- Potenser och potensregler

Potenser och potensregler: Uppgift 1-3.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.14.28

Potenser och potensregler: Uppgift 4.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.14.46

Potenser och potensregler: Uppgift 5.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.15.37

Potenser och potensregler: Uppgift 6.

Klicka på bilden för att se videoförklaring till uppgiften!

Skärmavbild 2019-02-02 kl. 17.15.02

Matematik 3c: Tidigare nationella prov

Matematik 3c:
Nationellt prov VT 2015

Prov och bedömnings-
anvisningar (facit)

Bra saker att kunna i Geogebra

Får du använda Geogebra på D-delen?

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Börje Sundvall

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Länk till lösningar från Johan Våglund

Dokumenten på denna sida är hämtade från http://www.edusci.umu.se/np/np-2-4/tidigare-givna-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Matematik 3b: Tidigare nationella prov

Matematik 3b:
Nationellt prov VT 2015

Prov och bedömnings-
anvisningar (facit)

Bra saker att kunna i Geogebra

Får du använda Geogebra på D-delen?

Videolösningar

Länk till lösningar från David Johansson

Länk till lösningar från Jennifer Henriksson

Länk till lösningar från matteboken.se

Dokumenten på denna sida är hämtade från http://www.edusci.umu.se/np/np-2-4/tidigare-givna-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Matematik 2a: Tidigare nationella prov

Matematik 2a:
Nationellt prov VT 2015

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Keith Delahorne

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Matematik 2a:
Nationellt prov VT 2012

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från MattePer

Länk till lösningar från Matematikdavid

Dokumenten på denna sida är hämtade från http://www.edusci.umu.se/np/np-2-4/tidigare-givna-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Matematik 2c: Tidigare nationella prov

Matematik 2c:
Nationellt prov VT 2015

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Börje Sundvall

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Matematik 2c:
Nationellt prov VT 2012

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Börje Sundvall

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Dokumenten på denna sida är hämtade från http://www.edusci.umu.se/np/np-2-4/tidigare-givna-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Matematik 1c: Tidigare nationella prov

Matematik 1c:
Nationellt prov HT 2016

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Del B:

Del C:

Del D:

Matematik 1c:
Nationellt prov VT 2012

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Börje Sundvall

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Dokumenten på denna sida är hämtade från https://www.su.se/primgruppen/matematik/kurs-1/tidigare-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Matematik 1b: Tidigare nationella prov

Matematik 1b:
Nationellt prov HT 2016

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Del B:

Del C:

Del D:

Matematik 1b:
Nationellt prov VT 2012

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Robin Persson

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Dokumenten på denna sida är hämtade från https://www.su.se/primgruppen/matematik/kurs-1/tidigare-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Matematik 2b: Tidigare nationella prov

Matematik 2b:
Nationellt prov VT 2015

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Robin Persson

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Länk till lösningar från Mattias Djurvall

Matematik 2b:
Nationellt prov HT 2012

Nyligen frisläppt prov!

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Del B:

Del C:

Del D (upg. 17-21):

Kommer inom kort.

Del D (upg. 17-21):

Kommer inom kort.

Matematik 2b:
Nationellt prov VT 2012

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Länk till lösningar från Robin Persson

Dokumenten på denna sida är hämtade från http://www.edusci.umu.se/np/np-2-4/tidigare-givna-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Ge mig k-värdet


Beräkna k-värde och m-värde


Matematik 1a: Tidigare nationella prov

Matematik 1a:
Nationellt prov HT 2016

Videolösningar

Lösningar från Jonas Vikström, vidma.se

Del B:

Del C:

Del D:

Matematik 1a:
Nationellt prov VT 2012

Videolösningar

Länk till lösningar från matteboken.se

Länk till lösningar från Fredrik Lindmark

Länk till lösningar från Keith Delahorne

Dokumenten på denna sida är hämtade från https://www.su.se/primgruppen/matematik/kurs-1/tidigare-prov. Originaldokumenten kan alltid hittas där.


Räta linjen – geogebra


Andragradsfunktioner – appen!


Procent: förändringsfaktor

Förändringsfaktor

Hur gör man och varför är det bra?

Procentuell ökning och minskning flera gånger efter varandra

Hur du räknar ut förändringen (procentuella) om du vet gamla och nya värdet

Förändringsfaktor och ekvation som hjälp vid problemlösning

Rekommenderat klipp!

Flera olika uppgifter där förändringsfaktor är bra att använda

Från E-nivå till A-nivå.

Typuppgifter om procentuell ökning eller minskning. Kan du dessa?

VAD ÄR NYA VÄRDET? Det gamla värdet var 400 kr och minskningen är 12 procent.​

VAD ÄR DET NYA VÄRDET? Värdet har ökat med 15 procent, vilket motsvarar 60 kr.​

HUR MÅNGA PROCENT ÄNDRADES VÄRDET? Gamla värdet var 400 kr och nya värdet är 150 kr.​

HUR MÅNGA PROCENT ÄNDRADES VÄRDET? Gamla värdet var 600 kr och ökningen var 50 kr.


Geogebra mm

Detta är enbart länkar…

Förändringsfaktor geogebra

Tom

 

 


Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering - en metod för att kunna lösa alla andragradsekvationer steg för steg, utan att använda pq-formeln.

I många skolor behöver du inte kunna detta, utan lösningsformeln (pq-formeln) räcker väl. Hör efter med din lärare! Dock är detta en snyggare metod än lösningsformeln, så vill du briljera dig igenom kursen är det här snyggt att lära sig!

En liknande genomgång.

Härledning av pq-formeln (fortsättning på genomgången ovan om kvadratkomplettering).


Geometrisk talföljd och geometrisk summa

Geometrisk talföljd

Geometrisk summa

Tyvärr finns ingen sådan genomgång här än.


Linjär optimering

Linjär optimering:

Tydlig uppgift och strukturerad arbetsgång.


Olikheter och system av olikheter

Repetition

Matematik 1:
Likhetstecken, olikhetstecken och att lösa olikheter
= < ≤ > ≥

Olikheter och system av olikheter


Tillämpningar av primitiva funktioner och integraler

Tillämpningar: först en exempeluppgift

PDF: Tio uppgifter med videolösningar

Klicka på bilden för att öppna pdf-dokumentet.

Dokumentet är indelat i tre delar, beroende på vad uppgifterna handlar om:

  • Del 1: Sträcka, hastighet, acceleration
  • Del 2: Antal (exempelvis folkmängd)
  • Del 3: Kostnad, marginalkostnad

Lösningar till del 1

Lösningar till del 2

Lösningar till del 3


Arean mellan två grafer

Att beräkna arean mellan två grafer med hjälp av integral

När du förstått principen kan du om du vill gå över till att innanför integraltecknet direkt skriva funktionsuttrycken f(x) – g(x), alltså  (övre funktionen – undre funktionen) dx, och göra en förenkling innan du skapar en primitiv funktion och beräknar. Det fungerar lika bra och blir lite mindre att skriva!


Integraler | Arean under en graf

Integraler: vad är det för något och hur räknar man?

Översumma, undersumma, integral och hur vi ställer upp och beräknar en integral

Geogebradokumentet som används i klippet återfinns i gröna rutan längre ned på sidan.

Integraler: så här skriver man!

Att undersöka arean under en graf med översumma och undersumma

Klicka på bilden och prova dig fram!

Integraler: Uppgifter

En exempeluppgift

Uppgifter från boken

Origo 3b.

Uppgifter: 5202, 5204, 5211ab, 5212, 5213, 5214a, 5215.


Primitiva funktioner med villkor

Primitiva funktioner med villkor

Ett beräkningsexempel och en textuppgift med sträcka, tid och hastighet.


Primitiva funktioner

Vad är en primitiv funktion och hur hittar vi en primitiv funktion?

Tydlig introducerande genomgång! I genomgången behandlas polynomfunktioner.


- Funktioner med kvadratrot eller annan rot
- Funktioner med potens i nämnaren

Snabbgenomgång av fyra exempel.


Tillämpningar: Extremvärdesproblem (textuppgifter)

Tillämpningar

  1. Beräkna: Var finns största eller minsta värdet? (Vad ska x vara?)
  2. Verifiera: Är det verkligen det största respektive minsta värdet? (Andraderivata!)
  3.  Beräkna värdet. (Funktionsvärdet)

Två exempeluppgifter, en enklare och en svårare.

I dessa två exempel verifierar vi inte med andraderivata att maxpunkten verkligen är en maxpunkt. (Eleverna hade inte kommit till det avsnittet än).

A-uppgift om extremvärde


Funktionens graf och derivatan

Funktionens graf och derivatan

- Hur derivatan varierar på olika ställen på funktionens graf.
- Derivatans nollställen och funktionens extrempunkter.
- Hur derivatans graf kan ritas.

Att få förståelse för hur funktionens graf ser ut, utifrån derivatans graf

Hur vi utifrån derivatans graf kan ta reda på ungefär hur funktionens graf ska se ut, och var den har sina extremvärden.

Rekommenderas starkt! Kan ge mycket bra förståelse för något som är ganska knepigt i början.

Undersök derivatans graf själv nedan!


Att undersöka en funktions graf med hjälp av derivata

Introduktion: Viktiga begrepp, samt hur vi kan skissa grafen med hjälp av derivata

Introducerande genomgång om både viktiga begrepp, men också hur du beräknar startvärde, nollställen och extrempunkter till en funktion.

Begrepp i genomgången:

  • Startvärde (skärning med y-axeln)
  • Nollställen (skärning med x-axeln)
  • Extremvärden:
    • Lokal minimipunkt (min-punkt)
    • Lokal maximipunkt (max-punkt)
    • Terasspunkt
  • Strängt växande
  • Strängt avtagande

Exempeluppgift på att skissa en graf till en funktion.

Lång genomgång, men bra. Se till att ha fokus! Första delen av genomgången handlar om begreppen!

Rekommendation: Fyra uppdelade klipp över de viktigaste delarna i det här området:

Del 1: Beräkna startvärde (repetition!)

Del 2: Beräkna nollställen (repetition!)

Del 3: Hitta extrempunkterna (viktigt!)

Del 4: Skissa grafen med hjälp av teckentabell (viktigt!)

Extremvärden och derivatan

Att rita grafen med hjälp av teckentabell

Att hitta och undersöka extremvärden till en funktion genom att använda derivata och teckentabell.

En till liknande genomgång som tar upp följande:

  • Beräkna startvärde
  • Beräkna nollställen
  • Beräkna var extrempunkterna finns (x-värde och y-värde)
  • Rita teckentabell
  • Rita graf

Att ta reda på en funktions största och minsta värde i ett intervall

Andraderivatan och extrempunkters karaktär

Vad är andraderivata och hur kan vi använda den för att bestämma en extrempunkts karaktär?

… det vill säga om det är en minimipunkt, maximipunkt eller terasspunkt.

Rekommenderas!

Mot högsta betyg:
Att undersöka grafens utseende för potensfunktioner, där x är i nämnaren.

Denna genomgång är bra för dig som siktar mot de högsta betygen!

Stort sammanfattande klipp på allt det viktiga

Att undersöka en graf: ta reda på ALLT" och sedan skissa grafen.

  • Startvärde
  • Nollställen
  • Extrempunkters läge
  • Extrempunkters värde (extremvärden)
  • Extrempunkters karaktär (min, max eller terass?)
  • Intervall där funktionen är strängt växande eller strängt avtagande
  • Definierad för alla x?

Tre exempel från E-nivå till C-nivå.


Derivata: tillämpningar

Textuppgifter: Vad är det vi räknar ut när vi deriverar?

Genomgång samt lösning av flera textuppgifter från boken.

Hur använder vi derivata vid problemlösningsuppgifter och vad är det vi har räknat ut då?

(Vid beräkningar i detta klipp använder vi derivatans definition.)

Fler tillämpningsuppgifter där du måste derivera

Vid beräkningar i dessa uppgifter används deriveringsreglerna.


Deriveringsreglerna

Deriveringsregler

Polynomfunktioner

Funktioner där x finns i nämnaren

Funktioner där x finns i ett rotuttryck

Exponentialfunktioner (när x finns som exponent)

Sammanfattning av deriveringsreglerna

Tydlig sammanfattning av alla reglerna samt många exempeluppgifter med lösningar:

Hoppa direkt till VIDEOLÖSNINGARNA för exempeluppgifterna:


Prova gör exempeluppgifterna nedan för att se om du behärskar detta. Videolösningar finns i klippet ovan!

Genomgångar om deriveringsreglerna

Deriveringsregler för potens- och polynomfunktioner

Kontrollera här om du behärskar detta (klicka på knappen “Ny funktion” för att starta): 

Att derivera funktioner där x är i nämnaren, samt roten ur x.

Exponentialfunktioner, talet e och den naturliga logaritmen ln

Faktaruta

När du deriverar f(x) = ex så blir derivatan precis likadan, nämligen f'(x) = ex

Talet e är ungefär 2,718 och just det talet har egenskapen ovan.

Detta innebär att i precis varje punkt på grafen till f(x) = eså är y-värdet f(x) detsamma som lutningen f'(x). Det är bara talet e som har denna egenskap.

Derivatan av ex. Vad är talet e?

Rekommenderas! Speciellt om du vill förstå vad talet e innebär.

Här nedan kan du prova själv och se om du kan hitta talet e. Gör som i klippet ovan!

För dig som vill veta mer:

Varför ser definitionen av e ut som den gör?

Talet e dyker upp vid många tillfällen i matematiken. Här är ett exempel, som också berättar varför definitionen av e ser ut som den gör:

Det är inte så viktigt att förstå denna definition. (Tycker åtminstone jag…)

Derivatan av ekx och akx

Faktaruta

När du deriverar f(x) = ekx så blir derivatan  f'(x) = k · ekx

Exempel: När du deriverar f(x) = e2x så blir derivatan  f'(x) = 2e2x

Du ska alltså kopiera ner koefficienten som står framför x. Ingenting ändras i exponenten.

Faktaruta

När du deriverar f(x) = akx så blir derivatan  f'(x) = k · akx · ln(a)

Exempel: När du deriverar f(x) = 42x så blir derivatan  f'(x) = 2 · 42x · ln(4). 

Du ska alltså kopiera ner koefficienten som står framför x. Dessutom ska du multiplicera med ln för exponentens bas.

- Genomgång om ln (den narutliga logaritmen)
- Repetition om lg (tiologaritmen)
- Lösning av exponentialekvationer
- Deriveringsregler för exponentialfunktioner


Tangenter | Förståelse för vad derivata är

Vad beskriver lutningen?

Tillämpningsuppgifter: Vad beskriver lutningen (derivatan) och vad är det vi räknar ut? Vilken enhet får svaret?

Tangentens lutning = derivata. INTRODUKTION!

Vad är derivata? TYDLIG INTRODUKTION.

Förståelse för tangentens lutning och varför vi väljer två punkter

Detta klipp är till för att du ska få förståelse för att tangentens lutning kan uppskattas om man beräknar lutningen mellan två punkter som är ytterst nära varandra.

Hur du kan beräkna en tangents lutning i Geogebra genom att skapa två punkter som ligger oerhört nära varandra


Sekanter och ändringskvot

Sekantens lutning = ändringskvot

– Skillnad mellan sekant och tangent

– Hur du beräknar sekantens lutning och vad den innebär.

– Repetition av formeln k= Δy / Δx (kallas här ändringskvot)

– Vilken enhet har sekantens lutning?


Polynomfunktioner och polynomekvationer (av högre grad)

Grafen till en polynomfunktion, hur ser den ut?

Antal reella nollställen:
– Linjär funktion:
0 eller 1 nollställe.
– Andragradsfunktion: 0, 1 eller 2 nollställen.
– Tredjegradsfunktion: 1, 2 eller 3 nollställen.
– Fjärdegradsfunktion: 0, 1, 2, 3 eller 4 nollställen.

Två genomgångar över detta: (ungefär samma innehåll i båda).

Faktorform och nollställen

Nollställena syns direkt om polynomet/funktionen är faktoriserat!

Hur vi skriver en funktion på faktorform (viktigt!)

Först lite kort repetition om utvecklad form och faktorform. Sedan en tydlig metod för hur vi skriver en funktion eller ett polynom i faktorform. Rekommenderas! 

"Fusklappar" om faktorform och hur du skriver på faktorform

Exemplen är samma som i genomgången ovan!

Att lösa vissa tredjegradsekvationer och ekvationer av högre grad

Tyvärr finns ingen genomgång om detta än, men vi kan lösa följande tredjegradsekvationer (principen är densamma för ekvationer av högre grad):

  • Om det finns x3-term, men ingen ytterligare term där x ingår:
    Flytta över allt till andra ledet förutom x3 och ta sedan tredje roten ur. Exempelvis x3+10=2. Lösningen kommer bli att x3=-8, vilket ger resultatet x=-2.

     

  • Om alla termer innehåller x, x2 eller x3, men att konstantterm saknas
    Flytta alla termer till ena ledet så att andra ledet blir =0. Bryt sedan ut ett x och använd nollproduktmetoden. 

    x3+x2=6x
    x3+x2-6x=0
    x(
    x2+x-6)=0

    Lösning 1: x1=0. (Nollproduktmetoden).

    Lösning 2 och 3: Dessa får du genom att använda pq-formeln på enbart det inuti parentesen:
    x2+x-6=0
    pq-formeln ger x2=-3 och x3=2. 


Rationella funktioner

Rationella funktioner - funktioner med bråkstreck

Rationella funktioner: När är de ej definierade? Hur förenklar vi sådana?

För det går ju aldrig att dividera med 0… och då kan inte x vara vad som helst!


Rationella uttryck

Sammanfattande bilder:

Vad är ett rationellt uttryck?
För vilka värden är det inte definierat?

Förlänga rationella uttryck

Förkorta rationella uttryck

Observera att du bara kan förkorta bort faktorer, som alltså sitter med multiplikation.

Addera, subtrahera, multiplicera och dividera rationella uttryck

Förenkla rationella uttryck
(förlänga och förkorta)

Introduktion:

När får man förkorta och när får man inte det?

Att förlänga och förkorta rationella uttryck.

För att förkorta ett rationellt uttryck behöver du först faktorisera:

  1. Bryt ut gemensam faktor om det går.
  2. Går det att använda kvadreringsreglerna eller konjugatregeln baklänges?
  3. Faktorisera med hjälp av pq-formeln. Alltså beräkna nollställena x1 och x2 och skriv sedan på formen (x-x1)(x-x2).
  4. Hjälper det att bryta ut (-1) ?

TYDLIGT EXEMPEL: Att förenkla ett rationellt uttryck genom att faktorisera täljare och nämnare

Ett något svårare exempel, men mycket tydligt.

Ibland är det smart att bryta ut (-1).

Genom att bryta ut (-1) kan du få termerna att byta tecken:

x-7 = -1(-x+7) = -1(7-x).

Ibland kan detta hjälpa, om vi exempelvis har x-7 i täljaren och 7-x i nämnaren.

 

Klippet startar en bit in i genomgången.

Rationella uttryck:
- Addition och subtraktion
- Multiplikation
- Division
- Lösa ekvationer

Tydlig genomgång över allt detta. Några av exemplen är lite svårare.

Två något kortare genomgångar och något enklare exempel:

Addition och subtraktion av rationella uttryck

Multiplikation och division av rationella uttryck

Rationella funktioner - funktioner med bråkstreck

Rationella funktioner: När är de ej definierade? Hur förenklar vi sådana?

För det går ju aldrig att dividera med 0… och då kan inte x vara vad som helst!


Polynom

Polynom: översiktlig genomgång

  • Vad är ett polynom?
  • Faktoriserad form och utvecklad form? 
  • Hur faktoriserar vi ett polynom, och varför?
  • Förenkla rationella uttryck (uttryck med bråkstreck).

Att förenkla ett rationellt uttryck genom att faktorisera täljare och nämnare

Rekommenderas!

Polynom: några mindre och mer avgränsade genomgångar

Vad är ett polynom? Värdet av ett polynom.

Multiplikation av polynom

Parentesmultiplikation, kvadreringsreglerna, konjugatregeln.

När får man förkorta och när får man inte det?

Introduktion till att förkorta rationella uttryck 8uttryck med bråkstreck).

Faktorisering av ett polynom

Faktorisering av ett polynom och förenkling av rationella uttryck (uttryck med bråkstreck).


För dig som ska använda Geogebra på nationella provet

Här kommer en genomgång över det viktigaste att kunna!

Matematik 2-3: GEOGEBRA, en genomgång över bra saker att kunna i Matematik 2 och 3.

 

Lösning av en uppgift i Geogebra. Uppgiften handlar om exponentiell ökning.

Matematik 2: Uppgift om exponentiell ökning. Lösning med Geogebra.

 


Avståndsformeln

Avståndsformeln: Att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem


Spridning kring medelvärdet

Spridning kring medelvärdet: normalfördelning och standardavvikelse

Vad innebär normalfördelning och standardavvikelse, samt när använder man det?

Jag beräknar inte standardavvikelsen i detta klipp.

 

  

 

 

Det går att räkna standardavvikelse för hand även om det är krångligt. Se nedan. (Fast jag gör inte färdigt det helt och hållet).


Spridning kring medianen

Spridning kring medianen

Lådagram, kvartiler, kvartilavstånd, percentiler, variationsbredd mm.


Likformighet | Kongruens

Likformighet

Från formelbladet.

En genomgång i lite snabbare tempo med fler exempel.

Jag berättar också om korsmultiplikation på slutet, ett värdefullt knep.

Topptriangelsatsen, transversalsatsen och bisektrissatsen

Från formelbladet.
Från formelbladet.

Uppgift från tidigare nationellt prov

Kongruens


Cirkelsatser

Randvinkelsatsen

En till genomgång om randvinkelsatsen
(med bevis)

Randvinkelsatsen

En medelpunktsvinkel är alltid dubbelt så stor som en randvinkel.
Dra i punkterna nedan så ser du!

 

Följdsatser till randvinkelsatsen

Alla randvinklar som utgår från en och samma cirkelbåge är alltid lika stora.
Dra i punkten vid randvinkeln nedan så ser du!

Randvinklar till en halvcirkelbåge är räta vinklar.
Dra i punkten vid randvinkeln nedan så ser du!

I en fyrhörning som är inskriven i en cirkel är motstående vinklar tillsammans 180 grader.
Dra i punkterna nedan så ser du! (Observera att det måste vara en fyrhörning för att det ska fungera!)


Tiologaritmer och exponentialekvationer med basen 10

- Tiologaritmer
- Exponentialekvationer med basen 10

Tiologaritmer

En till liknande genomgång

Exponentialekvationer och tiologaritmer

Beskriver hur tiologarimer kan användas för att lösa exponentialekvationer med basen 10.


Exponentialekvationer: grafisk lösning

Grafisk lösning av exponentialekvationer med Geogebra

Två klipp med fler uppgifter, prova gärna själv först:


Potenser och logaritmer: Tillämpningar

Introduktion

Potensekvationer och exponentialekvationer; vad är skillnaden och hur gör man?

(Klippet går ej igenom algebraisk lösning av exponentialekvationen.)

Potensfunktioner och exponentialfunktioner: tillämpningar

Tre viktiga uppgifter som du måste kunna!

Fyra huvudfrågeställningar (viktigt!)

- Beräkna gamla värdet
- Beräkna nya värdet
- Beräkna förändringsfaktorn
- Beräkna antalet förändringar

Mycket tydligt klipp!

Fler textuppgifter

Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på uppgiften för att se videoförklaringen!


Logaritmlagar | Exponentialekvationer med vilken bas som helst

- Räkneregler för logaritmer (logaritmlagar)
- Lösa exponentialekvationer med vilken bas som helst

Logaritmlagar och hur du löser exponentialekvationer med vilken bas som helst.

Ett viktigt klipp!

Fler ekvationer med x som exponent.

Mer om logaritmlagarna

Uppgift om exponentialekvation, från Origoboken

Uppgift 4352c från Origo 2b.

Logaritmlagar: Tre uppgifter av blandad sort

Lösa exponentialekvationer utan att använda logaritmlagarna


Lösa exponentialekvationer genom omskrivning till bas 10

Endast för högre betyg? Fråga din lärare!

Ger bra förståelse!


Potenser | Potensregler | Potensekvationer

Repetition från Matematik 1

  • Grundläggande potensregler
  • Negativ exponent
  • Noll som exponent

Gå till sidan om potenser för Matematik 1.

Potenser och potensregler

Potenser med heltalsexponenter och potenser med rationella exponenter

Fler exempel om att förenkla potenser

Bra träningsuppgifter!

Potenser med rationella exponenter (bråktal som exponent)

På vilket sätt hör potenser och rötter (kvadratrot, kubikrot etc) ihop?

Fler exempel med rationella exponenter

Två svåra uppgifter om att förenkla potenser med rationella exponenter

Uppgift från tidigare nationellt prov

Två riktiga utmaningar…

Klicka på uppgiften för att se videoförklaringen!

Potensekvationer

Potensekvationer (lång men bra genomgång). Jag visar hur man gör med miniräknaren också.

Liknande genomgång fast kortare


Ekvationssystem: tillämpningar (problemlösning)

Tillämpningar (problemlösning)

En till textuppgift


Ekvationssystem: algebraisk lösning

Repeterande genomgång om de tre metoderna:
-additionsmetoden
-substitutionsmetoden
-grafisk lösning

Bra om du vill ha genomgång på ALLA metoderna och orkar hålla fokus 🙂
Har du aldrig arbetat med detta förut så börja titta på genomgångarna längre ner!

Hur du löser ett ekvationssystem algebraiskt

Metod 1: Substitutionsmetoden

  1. Lös ut en variabel från någon av ekvationerna. Då står det exempelvis x=nånting eller y=nånting.
  2. Ersätt samma variabel i den andra ekvationen med uttrycket du nyss fick. Skriv det inom parentes. Du ska nu ha en ekvation med bara en variabel.
  3. Lös den nya ekvationen. Nu vet du vad ena variabeln har för värde.
  4. Använd värdet du vet på variabeln och stoppa in det i någon av ekvationerna. Räkna nu ut värdet på den andra variabeln.

Genomgång om substitutionsmetoden

En till genomgång om substitutionsmetoden

Metod 2: Additionsmetoden

Genomgång om additionsmetoden

Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på uppgiften för att se videoförklaringen!


Ekvationssystem: grafisk lösning

Hur du löser ett ekvationssystem grafiskt

Uppgift från tidigare nationellt prov

Klicka på uppgiften för att se videoförklaringen!