Direkt bevis, indirekt bevis och motsägelsebevis
Vad är ett direkt bevis?
Ett direkt bevis är den enklaste typen av bevisföring. Den bygger på att vi utgår från att ett antagande är sant, och steg för steg visar att slutsatsen därmed också är sann.
Exempel: Bevisa att då en rektangels sidlängder ökar med 40 %, så ökar arean på rektangeln med 96 %.
Lösning:
– Låt sidlängderna på rektangeln vara x och y l.e.
– Detta medför att ursprungliga arean är x*y a.e.
– Då sidlängderna ökas blir de nya längderna 1,4x och 1,4y l.e.
– Detta medför att den nya arean blir 1,4x*1,4y a.e., vilket blir 1,96xy a.e.
– Den procentuella förändringen från x*y a.e till 1,96xy a.e är 96%. Vilket skulle visas (v.s.v.).
(För tydlighetens skull kan vi även dividera 1,96xy med xy och få fram förändringsfaktorn 1,96, vilket motsvarar 96% ökning).
De allra flesta härledningar av formler är direkta bevis.
Skillnaden mellan ett bevis och en härledning är oftast bara hur frågeställningen är ställd: "Bevisa att formeln gäller" eller "Härled formeln".
Nedan kommer några knepigare exempel.
Exempel: Bevisa regeln för partiell integration
Exempel: Bevisa subtraktionsformeln för cosinus
Exempel: Bevisa formlerna för produktregeln och kvotregeln
Bild: Direkt bevis om delbarhet.
Direkt bevis med kongruenstabell
Kongruenstabell kan användas för att visa att ett tal är en delare till ett uttryck.
Anders Karlsson lär mig och tittarna på livesändningen 2022 hur det fungerar med kongruenstabell.
Vad är ett motsägelsebevis?
En metod för att bevisa något är att använda ett motsägelsebevis.
Metoden innebär att antar att påståendet som vi vill bevisa är falskt, och med hjälp av matematiska resonemang/beräkningar visar att antagandet inte kan stämma.
Om vi visar att antagandet att påståendet är falskt omöjligt kan stämma så innebär det följaktligen att påståendet måste vara sant. Därmed är det bevisat.
Exempel på motsägelsebevis
Detta är ett svårare exempel och inget du förväntas komma på själv. Motsägelsebeviset är det som finns till höger i videon, om att det finns oändligt antal primtal.