Dagsarkiv: 9 november, 2020

Polynomdivision och polynomekvationer av högre grad (faktorsatsen).​ 3

Polynomdivision samt polynomekvationer av högre grad

Hur du utför en polynomdivision, samt hur du löser en polynomekvation genom att först gissa en rot (lösning) och sedan utföra en polynomdivision.

Två exempel på när polynomdivision är bra att använda

Nollställen och asymptoter.

Fler exempeluppgifter om polynomdivision, samt begreppen kvot och rest

Dessutom relevanta tips gällande asymptoter som är en annan del av kursen.

OBS: Jag luras av misstag lite gällande Exempel 2 i början. Den fick ju också resten 0 och var alltså delbar med nämnaren även den! Kanske inte en av de tydligaste genomgångarna, men så kan det vara ibland. 🙂

KORRIGERING 12:22. Resten blir 22 och inte -22.

Faktorsatsen

Uppgifter från tidigare nationella prov, med videoförklaringar

Klicka på en uppgift för att se en videförklaring till den.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 4).

Polynomdivision

Just den här sidan är under uppbyggnad. Genomgångar kommer publiceras här under de närmsta veckorna. 

Håll ut 🙂

Kolla in resten av Matematik 4-innehållet så länge!

 

Mvh Jonas

Eulers formel 2

Genomgång om Eulers formel samt likheten eπi = -1

ei⋅v = cos v + i⋅sin v

alternativt

r⋅ei⋅v = r⋅(cos v + i⋅sin v)

Genomgången ska starta på rätt ställe. Första halvan av genomgången repeterar potensekvationer med komplexa rötter och den halvan är också värd att se. Spola tillbaka från början i så fall.

Komplexa tal i potensform

Genomgång om de Moivres formel

... med exempeluppgifter

Om hur du beräknar en potens av ett komplext tal, exempelvis z5.

Ekvationslösning med komplexa tal i potensform (potensekvationer)

Viktigt att veta

Antal komplexa lösningar till en potensekvation på formen z^n=a (där z och a är komplexa tal) är alltid detsamma som exponenten. Tredjegradsekvationerna har alltså exakt tre lösningar och femtegradsekvationer har exakt fem lösningar. 

Dessa lösningar ligger jämnt fördelade runt varvets 360° så att det är lika många grader mellan varje lösning. Perioden mellan lösningarna är alltså 360°/exponenten, det vill säga 360°/3=120° om det är en tredjegradsekvation. 

Avståndet från origo till de punkter som utgör lösningarna till ekvationen är lika långa. Lösningarna ligger alltså på en cirkel, där origo är medelpunkten. Radien på cirkeln är absolutbeloppet för en lösning.

Första halvan av denna genomgång är ett tydligt exempel på en potensekvation med komplexa tal.

Liknande genomgång med ett annat exempel.

Uppgifter från tidigare nationella prov, med videoförklaringar

Klicka på en uppgift för att se en videförklaring till den.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 4).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2014 (Matematik 4).

Komplexa tal som vektorer, samt mer om absolutbelopp​

Komplexa tal som vektorer, samt mer om absolutbelopp

Genomgången innehåller förutom vektorer även information om hur vi beskriver cirklar i det komplexa talplanet med hjälp av en ekvation.

Uppgifter från tidigare nationella prov, med videoförklaringar

Klicka på en uppgift för att se en videförklaring till den.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 4).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2014 (Matematik 4).

Komplexa tal på polär form 6

Komplexa tal på polär form

Hur skrivs komplexa tal på polär form och varför skrivs det så? Hur omvandlar vi mellan rektangular form och polär form?

Liknande genomgångar:

Grunder

Varför skrivs den polära formen som den gör? Vad är det för skillnad på rektangulär form och polär form?

Omvandla mellan rektangulär form och polär form

... samt hur vi bestämmer absolutbelopp och argument.

Snabbgenomgång om att omvandla till polär form

Om du bara vill repetera och inte vill se det hela klippet ovan igen.

Uppgifter med videoförklaringar

Stort tips:

GeoGebra: Träning med förklaringar (extern länk)

Omvandla till polär form

visuellmatematik

Anders Karlsson och Svetlana Yushmanova har skapat mycket bra GeoGebra-visualiseringar för att öka förståelsen för begreppen och metoderna i kursen.

Dessa är verkligen ett bra tips att använda under kursens gång.

Multiplikation och division

... av komplexa tal i polär form.

Regler

Om vi multiplicerar två komplexa tal

  • … så adderas argumenten (vinklarna).
  • … så multipliceras absolutbeloppen.

 

Om vi dividerar två komplexa tal

  • … så subtraheras argumenten (vinklarna).
  • … så divideras absolutbeloppen.

Exempeluppgift.

Multiplikation och division med i.

Liknande genomgång som den första, men med lite annan ingång!

Uppgifter från tidigare nationella prov, med videoförklaringar

Klicka på en uppgift för att se en videförklaring till den.

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 4).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från VT 2014 (Matematik 4).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 4).

Löses utan digitala hjälpmedel. Från HT 2013 (Matematik 4).