Deriveringsregler, del 3: Exponentialfunktioner


5
(1)

Deriveringsregler, del 3: Exponentialfunktioner, talet e och den naturliga logaritmen ln

Några kortare klipp över det viktigaste

Hur vi deriverar f(x) =ex samt kort om vad talet e är.

Labb: Testa själv att hitta talet e.

Här nedan kan du prova själv och se om du kan hitta talet e. Det är alltså det värde på basen som gör att y-värdet blir detsamma som derivatan, alltså att f(x) = f'(x). TESTA!

Att derivera f(x) = ekx och f(x) = akx

Exponentialfunktioner (när x finns som exponent)

Faktarutor

Faktaruta

När du deriverar f(x) = ex så blir derivatan precis likadan, nämligen f'(x) = ex

Talet e är ungefär 2,718 och just det talet har egenskapen ovan.

Detta innebär att i precis varje punkt på grafen till f(x) = eså är y-värdet f(x) detsamma som lutningen f'(x). Det är bara talet e som har denna egenskap.

Faktaruta

När du deriverar f(x) = ekx så blir derivatan  f'(x) = k · ekx

Exempel: När du deriverar f(x) = e2x så blir derivatan  f'(x) = 2e2x

Du ska alltså kopiera ner koefficienten som står framför x. Ingenting ändras i exponenten.

Faktaruta

När du deriverar f(x) = akx så blir derivatan  f'(x) = k · akx · ln(a)

Exempel: När du deriverar f(x) = 42x så blir derivatan  f'(x) = 2 · 42x · ln(4). 

Du ska alltså kopiera ner koefficienten som står framför x. Dessutom ska du multiplicera med ln för exponentens bas.

Övrigt och en aning blandat

För dig som tycker sånt här är intressant:
Härledning av talet e

Talet e är ungefär 2,781, men kan också beskrivas med ett gränsvärde – som kan härledas genom derivatans definition. Nedan syns en härledning av varför talet e blir just detta gränsvärde.

En annan härledning av varför e är just ungefär 2,72.

Innefattar derivatans definition och numerisk digital beräkning av gränsvärde.

 

 

Rösta!

Vad tycker du om just denna sida på Vidma?

Genomsnittlig ranking: 5 / 5. Antal röster: 1

Eftersom du gillade detta

... så får du gärna följa Vidma på Facebook. 🙂 Då skulle jag bli glad!

Synd att detta inte var användbart för dig

Hur kan det bli bättre?

Lämna en kommentar

E-postadressen publiceras inte.