Dagsarkiv: 30 augusti, 2018


Derivata: tillämpningar

Textuppgifter: Vad är det vi räknar ut när vi deriverar?

Genomgång samt lösning av flera textuppgifter från boken.

Hur använder vi derivata vid problemlösningsuppgifter och vad är det vi har räknat ut då?

(Vid beräkningar i detta klipp använder vi derivatans definition.)

Fler tillämpningsuppgifter där du måste derivera

Vid beräkningar i dessa uppgifter används deriveringsreglerna.


Deriveringsreglerna

Deriveringsregler

Polynomfunktioner

Funktioner där x finns i nämnaren

Funktioner där x finns i ett rotuttryck

Exponentialfunktioner (när x finns som exponent)

Sammanfattning av deriveringsreglerna

Tydlig sammanfattning av alla reglerna samt många exempeluppgifter med lösningar:

Hoppa direkt till VIDEOLÖSNINGARNA för exempeluppgifterna:


Prova gör exempeluppgifterna nedan för att se om du behärskar detta. Videolösningar finns i klippet ovan!

Genomgångar om deriveringsreglerna

Deriveringsregler för potens- och polynomfunktioner

Kontrollera här om du behärskar detta (klicka på knappen “Ny funktion” för att starta): 

Att derivera funktioner där x är i nämnaren, samt roten ur x.

Exponentialfunktioner, talet e och den naturliga logaritmen ln

Faktaruta

När du deriverar f(x) = ex så blir derivatan precis likadan, nämligen f'(x) = ex

Talet e är ungefär 2,718 och just det talet har egenskapen ovan.

Detta innebär att i precis varje punkt på grafen till f(x) = eså är y-värdet f(x) detsamma som lutningen f'(x). Det är bara talet e som har denna egenskap.

Derivatan av ex. Vad är talet e?

Rekommenderas! Speciellt om du vill förstå vad talet e innebär.

Här nedan kan du prova själv och se om du kan hitta talet e. Gör som i klippet ovan!

För dig som vill veta mer:

Varför ser definitionen av e ut som den gör?

Talet e dyker upp vid många tillfällen i matematiken. Här är ett exempel, som också berättar varför definitionen av e ser ut som den gör:

Det är inte så viktigt att förstå denna definition. (Tycker åtminstone jag…)

Derivatan av ekx och akx

Faktaruta

När du deriverar f(x) = ekx så blir derivatan  f'(x) = k · ekx

Exempel: När du deriverar f(x) = e2x så blir derivatan  f'(x) = 2e2x

Du ska alltså kopiera ner koefficienten som står framför x. Ingenting ändras i exponenten.

Faktaruta

När du deriverar f(x) = akx så blir derivatan  f'(x) = k · akx · ln(a)

Exempel: När du deriverar f(x) = 42x så blir derivatan  f'(x) = 2 · 42x · ln(4). 

Du ska alltså kopiera ner koefficienten som står framför x. Dessutom ska du multiplicera med ln för exponentens bas.

- Genomgång om ln (den narutliga logaritmen)
- Repetition om lg (tiologaritmen)
- Lösning av exponentialekvationer
- Deriveringsregler för exponentialfunktioner


Tangenter | Förståelse för vad derivata är

Vad beskriver lutningen?

Tillämpningsuppgifter: Vad beskriver lutningen (derivatan) och vad är det vi räknar ut? Vilken enhet får svaret?

Tangentens lutning = derivata. INTRODUKTION!

Vad är derivata? TYDLIG INTRODUKTION.

Förståelse för tangentens lutning och varför vi väljer två punkter

Detta klipp är till för att du ska få förståelse för att tangentens lutning kan uppskattas om man beräknar lutningen mellan två punkter som är ytterst nära varandra.

Hur du kan beräkna en tangents lutning i Geogebra genom att skapa två punkter som ligger oerhört nära varandra


Sekanter och ändringskvot

Sekantens lutning = ändringskvot

– Skillnad mellan sekant och tangent

– Hur du beräknar sekantens lutning och vad den innebär.

– Repetition av formeln k= Δy / Δx (kallas här ändringskvot)

– Vilken enhet har sekantens lutning?


Tredjegradsfunktioner och fjärdegradsfunktioner

Grafen till en polynomfunktion, hur ser den ut?

Antal reella nollställen:
– Linjär funktion:
0 eller 1 nollställe.
– Andragradsfunktion: 0, 1 eller 2 nollställen.
– Tredjegradsfunktion: 1, 2 eller 3 nollställen.
– Fjärdegradsfunktion: 0, 1, 2, 3 eller 4 nollställen.

Två genomgångar över detta: (ungefär samma innehåll i båda).

Faktorform och nollställen

Att skriva funktionen till en graf, med hjälp av faktorform

Enklare introducerande genomgång om den ovan var knepig

Nollställena syns direkt om polynomet/funktionen är faktoriserat!

Hur vi skriver en funktion på faktorform (viktigt!)

Först lite kort repetition om utvecklad form och faktorform. Sedan en tydlig metod för hur vi skriver en funktion eller ett polynom i faktorform. Rekommenderas! 

"Fusklappar" om faktorform och hur du skriver på faktorform

Exemplen är samma som i genomgången  “Hur vi skriver en funktion på faktorform” ovan!


Rationella funktioner

Rationella funktioner - funktioner med bråkstreck

Rationella funktioner:
- När är de ej definierade?
- Hur förenklar vi sådana?

För det går ju aldrig att dividera med 0… och då kan inte x vara vad som helst!